no. 1
Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ℝ p
Lootgieter, Jean-Claude1
1 Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 45-126

Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier θ>1 et toute f de L 1 (𝕋), où 𝕋=ℝ/ℤ, les moyennes

1N∑1Nf(θnx)convergentvers∫𝕋f(t)dt

pour presque tout point x de ℝ. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique θ>1 et toute f de L 2 (𝕋). Dans cet article nous prouvons que, si ϕ est un endomorphisme de ℝ p algébrique sur ℚ, dont les valeurs propres sont toutes de module >1, alors pour toute f de L 2 (𝕋 p ), les moyennes (1/N)∑ 1 N f(ϕ n x) convergent vers ∫ 𝕋 p f(t)dt pour presque tout point x de ℝ p . Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.

The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer θ>1 and any f of L 1 (𝕋), where 𝕋=ℝ/ℤ, the averages

1N∑1Nf(θnx)convergeto∫𝕋f(t)dt

for almost every point x of ℝ. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic number θ>1 and any f of L 2 (𝕋). In this paper we prove that, for any endomorphism ϕ of ℝ p algebraic on ℚ, whose proper values all have modulus >1, for any f of L 2 (𝕋 p ), the averages 1/N∑ 1 N f(ϕ n x) converge to ∫ 𝕋 p f(t)dt for almost every point x of ℝ p . We follow and adapt J.Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.

DOI : 10.5802/aif.2252
Classification : 47A35, 11D61, 42B05
Mots-clés : Théorème de Riesz-Raikov, théorème ergodique maximal de Hopf, zéro-multiplicité des suites récurrentes linéaires, presque-orthogonalité, séries de Fourier et inégalités maximales
Keywords: Riesz-Raikov Theorem, Hopf maximal ergodic theorem, zero multiplicity of linear recurrence sequences, almost orthogonality, Fourier series and maximal inequalities

Lootgieter, Jean-Claude 1

1 Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 (France) 
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Lootgieter, Jean-Claude. Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 45-126. doi: 10.5802/aif.2252

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