ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Comparaison de la définition classique de l’énergie d’une mesure positive $\mu$ et de deux autres définitions introduites par l’auteur dans son travail des Acta Mathematica (1950), auquel cet article apporte des compléments et une rectification. Les noyaux $K$ considérés sont des mesures positives satisfaisant toujours à la condition (A) : la transformée de Fourier (au sens de L. Schwartz) de $K$ est une fonction positive $\mathbf{K}$ dont l’inverse $I/\mathbf{K}$ est à croissance lente ; et éventuellement à la condition de régularité (B) : $K=K\left(x\right)$ est une fonction positive continue pour tout $x$, finie pour $x\ne 0$, et satisfaisant au théorème de Evans-Vasilesco : la continuité de la restriction du potentiel $\int K(x-y)d\mu \left(y\right)$ au support de $\mu$ (supposé compact) entraîne la continuité du potentiel dans l’espace $R^m$ tout entier.

On considère les trois définitions de l’énergie d’une $\mu \ge 0$ :

(I) $E_1\left(\mu \right)=\int \int K(x-y)d\mu \left(x\right)d\mu \left(y\right)$

(c’est la définition classique, qui a un sens si $K$ est une fonction borélienne $\ge 0$).

(II) Si la mesure composée $K*\mu *\check{\mu }$ ($\check{\mu }=$ mesure symétrique de $\mu$) existe et est à densité continue $f\left(x\right)$, on pose $E_2\left(\mu \right)=SpK*\mu *\check{\mu }$ ($=f\left(0\right)$) ; sinon $E_2\left(\mu \right)=+\infty$.

(III) Si la transformée de Fourier $\mathbf{M}=\mathbf{F}\left(\mu \right)$ est une fonction de carré sommable par rapport à la mesure de densité $\mathbf{K}=\mathbf{F}\left(K\right)$, on pose $E_2\left(\mu \right)=\int \mathbf{K}|\mathbf{M}{|}^{2}dx$ ; sinon $E_3\left(\mu \right)=+\infty$.

Voici alors les résultats essentiels : pour un noyau satisfaisant seulement à (A), $E_2\left(\mu \right)<\infty$ entraîne $E_2\left(\mu \right)=E_3\left(\mu \right)$, et l’espace de ces mesures est complet pour la norme $\sqrt{E_2\left(\mu \right)}$. Si le noyau satisfait également à (B), on a toujours $E_1\left(\mu \right)=E_2\left(\mu \right)$. La question de savoir s’il existe des mesures $\mu$ satisfaisant à $E_3\left(\mu \right)<E_2\left(\mu \right)=+\infty$ n’est pas résolue ; elle se pose d’ailleurs seulement pour les mesures dont le support n’est pas compact. Une réponse négative est donnée sans démonstration dans le cas de certains noyaux classiques.