An obstruction to homogeneous manifolds being Kähler

Gilligan, Bruce

doi:10.5802/aif.2097

An obstruction to homogeneous manifolds being Kähler
[Une obstruction à l'existence de métriques kählériennes sur les espaces homogènes]

Gilligan, Bruce ¹

¹ University of Regina, department of Mathematics and Statistics , Regina, S4S 0A2 (Canada)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 1, pp. 229-241.

Résumé
Abstract

Soit $G$ un groupe de Lie complexe, $H$ un sous-groupe complexe fermé de $G$ , et $X : = G / H$ . Soit $R$ le radical et $S$ un sous-groupe semi-simple maximal de $G$ . La construction d’exemples de variétés non compactes $X$ homogènes d’un produit semi-direct $G = S ⋉ R$ , possédant une métrique kählérienne pas nécessairement invariante par $G$ , a suscité ce travail. L’orbite $S / S \cap H$ de $S$ dans $X$ est kählérienne. Donc $S \cap H$ est un sous-groupe algébrique de $S$ [4]. La présence d’une structure kählérienne sur $X$ devrait impliquer que l’action de $S$ sur la base $Y$ de chaque fibration homogène $X \to Y$ soit algébrique. Des considérations naturelles permettent de se placer dans le cas d’un sous-groupe discret $H = Γ$ et d’une fibration homogène $X = G / Γ \to G / I = : Y$ , où le sous-groupe $I^{\circ}$ est abélien et normal dans $G$ et la fibre $I^{\circ} / (I^{\circ} \cap Γ)$ est un groupe de Cousin. Une telle condition algébrique existe alors dans cet espace homogène $Y = \hat{G} / \hat{Γ}$ , où $\hat{G} : = G / I^{\circ}$ et $\hat{Γ} : = I / I^{\circ}$ . Ceci signifie que l’existence d’un élément $\hat{g} \in \hat{Γ}$ d’ordre infini appartenant à un sous-groupe semi-simple $\hat{S}$ de $\hat{G}$ est une obstruction à l’existence d’une métrique kählérienne sur $X$ . Ainsi $X$ kählérien implique que $\hat{S} \cap \hat{Γ}$ fini.

Let $G$ be a connected complex Lie group, $H$ a closed, complex subgroup of $G$ and $X : = G / H$ . Let $R$ be the radical and $S$ a maximal semisimple subgroup of $G$ . Attempts to construct examples of noncompact manifolds $X$ homogeneous under a nontrivial semidirect product $G = S ⋉ R$ with a not necessarily $G$ -invariant Kähler metric motivated this paper. The $S$ -orbit $S / S \cap H$ in $X$ is Kähler. Thus $S \cap H$ is an algebraic subgroup of $S$ [4]. The Kähler assumption on $X$ ought to imply the $S$ -action on the base $Y$ of any homogeneous fibration $X \to Y$ is algebraic too. Natural considerations allow a reduction to the case where $H = Γ$ is a discrete subgroup and there is a homogeneous fibration $X = G / Γ \to G / I = : Y$ with $I^{\circ}$ an abelian, normal subgroup of $G$ and the fiber $I^{\circ} / (I^{\circ} \cap Γ)$ a Cousin group. An algebraic condition does hold in the homogeneous manifold $Y = \hat{G} / \hat{Γ}$ , where $\hat{G} : = G / I^{\circ}$ and $\hat{Γ} : = I / I^{\circ}$ , namely, an element $\hat{g} \in \hat{Γ}$ of infinite order lying in a semisimple subgroup $\hat{S}$ of $\hat{G}$ is an obstruction to the existence of a Kähler metric on $X$ . So $X$ Kähler implies $\hat{S} \cap \hat{Γ}$ finite.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2097

Classification : 32M10, 32Q15
Keywords: homogeneous complex manifolds, Kähler manifolds
Mot clés : espaces homogènes complexes, espaces kählériens

Affiliations des auteurs :

Gilligan, Bruce ¹

¹ University of Regina, department of Mathematics and Statistics , Regina, S4S 0A2 (Canada)

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Gilligan, Bruce. An obstruction to homogeneous manifolds being Kähler. Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 1, pp. 229-241. doi : 10.5802/aif.2097. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2097/

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