no. 2
Système dynamique à spectre discret et pavage périodique associé à une substitution
Siegel, Anne1
1 IRISA, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 2, pp. 341-381.

On donne une condition combinatoire effective suffisante pour que le sytème dynamique associé à une substitution de type Pisot ait un spectre purement discret. Dans le cas unimodulaire, cette condition est nécessaire dès que la substitution n'a qu'un cobord trivial ; elle est vérifiée si et seulement si le fractal de Rauzy associé à la substitution engendre un pavage auto-similaire et périodique. On en déduit des conditions de connexité des fractals de Rauzy.

We give a computable sufficient condition for the symbolic dynamical system associated with a substitution of Pisot type to have a pure discrete spectrum. In the unimodular case, this condition is necessary when the substitution has no nontrivial coboundary; it is satisfied if and only if the Rauzy fractal associated with the substitution generates a self-similar periodic tiling. Conditions for connectivity of Rauzy fractals are deduced.

DOI : 10.5802/aif.2021
Classification : 37B10, 52C22, 47A35, 28A80
Mot clés : substitution, système dynamique, spectre discret, fractals de Rauzy, pavages
Keywords: substitution, dynamical system, pure discrete spectrum, Rauzy fractals, tiling

Siegel, Anne 1

1 IRISA, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex (France) 
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Siegel, Anne. Système dynamique à spectre discret et pavage périodique associé à une substitution. Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 2, pp. 341-381. doi : 10.5802/aif.2021. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2021/

[AI] P. Arnoux; S. Ito Pisot substitutions and Rauzy fractals, Journées Montoises d'Informatique Théorique (Marne-la-Vallée, 2000) (Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8) (2001), pp. 181-207 | MR | Zbl

[Am] Y. Amice Les nombres p-adiques, Collection SUP. Le mathématicien, no 14, Presses Universitaires de France, 1975 | MR | Zbl

[BD] M. Barge; B. Diamond Coincidence for substitutions of Pisot type, Bull. Soc. Math. France, Volume 130 (2002), pp. 619-626 | Numdam | MR | Zbl

[BT] E. Bombieri; J.E. Taylor Which distributions of matter diffract? An initial investigation, International workshop on aperiodic crystals (Les Houches, 1986) (J. Physique), Volume 47 (1986), p. C3-19-C3-28 | MR | Zbl

[Ca] V. Canterini Connectedness of geometric representation of substitutions of Pisot type (To appear in Bull. Soc. Math. Belg.) | MR | Zbl

[CS1] V. Canterini; A. Siegel Automate des préfixes-suffixes associé à une substitution primitive, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 13 (2001), pp. 353-369 | Numdam | MR | Zbl

[CS2] V. Canterini; A. Siegel Geometric representation of substitutions of Pisot type, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 353 (2001), pp. 5121-5144 | MR | Zbl

[De] F.M. Dekking The spectrum of dynamical systems arising from substitutions of constant length, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, Volume 41 (1977/78), pp. 221-239 | MR | Zbl

[DT] J.-M. Dumont; A. Thomas Systèmes de numération et fonctions fractales relatifs aux substitutions, Theoret. Comput. Sci., Volume 65 (1989), pp. 153-169 | MR | Zbl

[Du] F. Durand Linearly recurrent subshifts have a finite number of non-periodic subshift factors, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 20 (2000), pp. 1061-1078 | MR | Zbl

[Du] F. Durand Corrigendum and addendum to: "Linearly recurrent subshifts have a finite number of non-periodic subshift factors", Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 23 (2003), pp. 663-669 | MR

[FMN] S. Ferenczi; C. Mauduit; A. Nogueira Substitution dynamical systems: algebraic characterization of eigenvalues, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 29 (1996) no. 4, pp. 519-533 | Numdam | MR | Zbl

[Ha] E. Harriss An invertible substitution with a non-connected Rauzy fractal (2002) (Preprint)

[Ho] B. Host Valeurs propres des systèmes dynamiques définis par des substitutions de longueur variable, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 6 (1986) no. 4, pp. 529-540 | MR | Zbl

[HS] M. Hollander; B. Solomyak Two-symbol Pisot substitutions have pure discrete spectrum, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 23 (2003), pp. 533-540 | MR | Zbl

[HZ] C. Holton; L.Q. Zamboni Directed graphs and substitutions, Theory Comput. Syst., Volume 34 (2001), pp. 545-564 | MR | Zbl

[Me] A. Messaoudi Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe, Acta Arith., Volume 95 (2000) no. 3, pp. 195-224 | MR | Zbl

[Mo] B. Mossé Puissances de mots et reconnaissabilité des points fixes d'une substitution, Theoret. Comput. Sci., Volume 99 (1992) no. 2, pp. 327-334 | MR | Zbl

[PF] N. Pytheas-Fogg Substitutions in Dynamics, Arithmetics and Combinatorics, Lectures Notes in Mathematics, 1794, Springer-Verlag, 2002 | Zbl

[Qu] M. Queffélec Substitution dynamical systems-spectral analysis, Lecture Notes in Mathematics, 1294, Springer-Verlag, 1987 | MR | Zbl

[Ra1] G. Rauzy Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France, Volume 110 (1982) no. 2, pp. 147-178 | Numdam | MR | Zbl

[Ra2] G. Rauzy Rotations sur les groupes, nombres algébriques et substitutions, Séminaire de Théorie des Nombres (Talence, 1987-1988) (1988), p. 21-01-21-12 | MR | Zbl

[Se] M. Senechal Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press, 1995 | MR | Zbl

[Si1] A. Siegel Représentation géométrique, combinatoire et arithmétique des substitutions de type Pisot (2000) (Thèse, Université de la Méditerranée)

[Si2] A. Siegel Représentation des systèmes dynamiques substitutifs non unimodulaires, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 23 (2003), pp. 1247-1273 | MR | Zbl

[Sir] V.F. Sirvent Geodesic laminations as geometric realizations of Pisot substitutions, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 20 (2000), pp. 1253-1266 | MR | Zbl

[Ve] A.M. Vershik Uniform algebraic approximation of shift and multiplication operators, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 259 (1981) no. 3, p. 526-529; English transl.: Soviet Math. Dokl. 24-1 (1981), 97-10 | MR | Zbl

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