no. 5
Asymptotics and stability for global solutions to the Navier-Stokes equations
[Comportement asymptotique et stabilité des solutions globales des équations de Navier-Stokes]
Gallagher, Isabelle1 ; Iftimie, Dragos2 ; Planchon, Fabrice3
1 École Polytechnique, Centre de Mathématiques, UMR 7640, 91128 Palaiseau (France)
2 Université de Rennes 1, IRMAR, UMR 6625, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes (France)
3 Université Paris 13, Institut Galilée, Laboratoire d'Analyse, Géométrie \& Applications, UMR 7539, avenue J.-B. Clément, 93430 Villetaneuse (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 5, pp. 1387-1424.

On considère une solution forte et globale des équations de Navier-Stokes. On montre qu'elle se comporte comme une solution petite en temps grand. En combinant ce résultat asymptotique avec des propriétés de moyenne en temps, on obtient la stabilité d'une telle solution globale.

We consider an a priori global strong solution to the Navier-Stokes equations. We prove it behaves like a small solution for large time. Combining this asymptotics with uniqueness and averaging in time properties, we obtain the stability of such a global solution.

DOI : 10.5802/aif.1983
Classification : 35B35, 35B40, 76D05
Keywords: Navier-Stokes equations, large time asymptotics, stability
Mot clés : équations de Navier-Stokes, comportement asymptotique en grand temps, stabilité

Gallagher, Isabelle 1 ; Iftimie, Dragos 2 ; Planchon, Fabrice 3

1 École Polytechnique, Centre de Mathématiques, UMR 7640, 91128 Palaiseau (France)
2 Université de Rennes 1, IRMAR, UMR 6625, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes (France)
3 Université Paris 13, Institut Galilée, Laboratoire d'Analyse, Géométrie \& Applications, UMR 7539, avenue J.-B. Clément, 93430 Villetaneuse (France) 
@article{AIF_2003__53_5_1387_0,
     author = {Gallagher, Isabelle and Iftimie, Dragos and Planchon, Fabrice},
     title = {Asymptotics and stability for global solutions to the {Navier-Stokes} equations},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1387--1424},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {53},
     number = {5},
     year = {2003},
     doi = {10.5802/aif.1983},
     zbl = {1038.35054},
     mrnumber = {2032938},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1983/}
}
TY  - JOUR
AU  - Gallagher, Isabelle
AU  - Iftimie, Dragos
AU  - Planchon, Fabrice
TI  - Asymptotics and stability for global solutions to the Navier-Stokes equations
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2003
SP  - 1387
EP  - 1424
VL  - 53
IS  - 5
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1983/
DO  - 10.5802/aif.1983
LA  - en
ID  - AIF_2003__53_5_1387_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Gallagher, Isabelle
%A Iftimie, Dragos
%A Planchon, Fabrice
%T Asymptotics and stability for global solutions to the Navier-Stokes equations
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2003
%P 1387-1424
%V 53
%N 5
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1983/
%R 10.5802/aif.1983
%G en
%F AIF_2003__53_5_1387_0
Gallagher, Isabelle; Iftimie, Dragos; Planchon, Fabrice. Asymptotics and stability for global solutions to the Navier-Stokes equations. Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 5, pp. 1387-1424. doi : 10.5802/aif.1983. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1983/

[1] P. Auscher; S. Dubois; P. Tchamitchian On the stability of global solutions to Navier-Stokes equations in the space (to appear in J. Math. Pures Appl.) | MR | Zbl

[2] J.-M. Bony Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 14 (1981) no. 2, pp. 209-246 | Numdam | MR | Zbl

[3] C. P. Calderón Existence of weak solutions for the Navier-Stokes equations with initial data in L p , Trans. Amer. Math. Soc, Volume 318 (1990) no. 1, pp. 179-200 | DOI | MR | Zbl

[4] M. Cannone; F. Planchon On the regularity of the bilinear term for solutions to the incompressible Navier-Stokes equations, Rev. Mat. Iberoamericana, Volume 16 (2000) no. 1, pp. 1-16 | DOI | MR | Zbl

[5] J.-Y. Chemin Remarques sur l'existence globale pour le système de Navier-Stokes incompressible, SIAM Journal Math. Anal, Volume 23 (1992), pp. 20-28 | DOI | MR | Zbl

[6] J.-Y. Chemin Théorèmes d'unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel, J. Anal. Math, Volume 77 (1999), pp. 27-50 | DOI | MR | Zbl

[7] J.-Y. Chemin; N. Lerner Flot de champs de vecteurs non lipschitziens et équations de Navier-Stokes, J. Differential Equations, Volume 121 (1995) no. 2, pp. 314-328 | DOI | MR | Zbl

[8] G. Furioli; P. G. Lemarié; - Rieusset; E. Terraneo Unicité dans L 3 (ℝ 3 ) et d'autres espaces fonctionnels limites pour Navier-Stokes, Rev. Mat. Iberoamericana, Volume 16 (2000) no. 3, pp. 605-667 | DOI | MR | Zbl

[9] I. Gallagher; D. Iftimie; F. Planchon Non-explosion en temps grand et stabilité de solutions globales des équations de Navier-Stokes, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math, Volume 334 (2002), pp. 289-292 | MR | Zbl

[10] I. Gallagher; F. Planchon On infinite energy solutions to the Navier-Stokes equations: global 2D existence and 3D weak-strong uniqueness (2001) (to appear in Arch. Rat. Mech. An) | Zbl

[11] T. Kato; H. Fujita On the nonstationary Navier-Stokes system, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Volume 32 (1962), pp. 243-260 | Numdam | MR | Zbl

[12] T. Kawanago Stability estimate of strong solutions for the Navier-Stokes system and its applications, Electron. J. Differential Equations (electronic), Volume 15 (1998), pp. 1-23 | MR | Zbl

[13] H. Koch; D. Tataru Well-posedness for the Navier-Stokes equations, Adv. Math, Volume 157 (2001) no. 1, pp. 22-35 | DOI | MR | Zbl

[14] P.-G. Lemarié Recent progress in the Navier-Stokes problem (2002) (à paraître, CRC Press)

[15] J. Leray Sur le mouvement d'un liquide visqueux remplissant l'espace, Acta Mathematica, Volume 63 (1934), pp. 193-248 | DOI | JFM

[16] F. Planchon Asymptotic behavior of global solutions to the Navier-Stokes equations in ℝ 3 , Rev. Mat. Iberoamericana, Volume 14 (1998) no. 1, pp. 71-93 | DOI | MR | Zbl

[17] F. Planchon Sur un inégalité de type Poincaré, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math, Volume 330 (2000) no. 1, pp. 21-23 | DOI | MR | Zbl

[18] F. Planchon Du local au global: interpolation entre données peu régulières et lois de conservation, Séminaire: Équations aux Dérivées Partielles, Volume Exp. No. IX, 18 (2002), pp. 2001-2002

[19] G. Ponce; R. Racke; T. C. Sideris; E. S. Titi Global stability of large solutions to the 3D Navier-Stokes equations, Comm. Math. Phys, Volume 159 (1994) no. 2, pp. 329-341 | DOI | MR | Zbl

[20] P. Tchamitchian personnal communication.

[21] M. Vishik Incompressible flows of an ideal fluid with vorticity in borderline spaces of Besov type, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Volume 32 (1999), pp. 769-812 | Numdam | MR | Zbl

[22] W. von Wahl The equations of Navier-Stokes and abstract parabolic equations, Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig, 1985 | MR

Cité par Sources :