no. 3
Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold
[Quantification par déformation équivariante pour le fibré cotangent d'une variété de drapeaux]
Brylinski, Ranee1
1 22 Overlook Drive, PO Box 1089, Truro MA 02666-1089 (USA)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 881-897.

Soit X une variété de drapeaux (généralisés) pour un groupe de Lie semisimple complexe G. Nous étudions la construction d’un star produit ☆ gradué sur ℛ=R(T ☆ X) qui correspond à une quantification G-équivariante des symboles vers les opérateurs différentiels tordus agissant sur les demi-formes sur X. Lorsque ℛ est engendrée par les fonctions moment μ x pour G, nous construisons de tels star produits ☆, où μ x ☆φ est de la forme μ x φ+1 2{μ x ,φ}t+Λ x (φ)t 2 . Les Λ x sont ici des opérateurs sur ℛ. Dans les exemples connus, Λ x (x≠0) n’est pas un opérateur différentiel, et le star produit μ x ☆φ n’est donc pas local en φ. Alors ℛ est munie d’une forme hermitienne invariante définie positive et compatible avec sa graduation. L’espace complété de ℛ est un nouveau modèle de type Fock de la représentation unitaire de G sur les demi-densités L 2 sur X.

Let X be a (generalized) flag manifold of a complex semisimple Lie group G. We investigate the problem of constructing a graded star product on ℛ=R(T ☆ X) which corresponds to a G-equivariant quantization of symbols into twisted differential operators acting on half-forms on X. We construct, when ℛ is generated by the momentum functions μ x for G, a preferred choice of ☆ where μ x ☆φ has the form μ x φ+1 2{μ x ,φ}t+Λ x (φ)t 2 . Here Λ x are operators on ℛ. In the known examples, Λ x (x≠0) is not a differential operator, and so the star product μ x ☆φ is not local in φ. ℛ acquires an invariant positive definite inner product compatible with its grading. The completion of ℛ is a new Fock space type model of the unitary representation of G on L 2 half-densities on X.

DOI : 10.5802/aif.1905
Classification : 53D55, 22E46, 17B35, 53D50
Keywords: deformation quantization, flag manifold, unitary representation
Mot clés : quantification par déformation, variété de drapeaux, représentation unitaire

Brylinski, Ranee 1

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Brylinski, Ranee. Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 881-897. doi : 10.5802/aif.1905. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1905/

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