An application of shift operators to ordered symmetric spaces
Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 1, pp. 275-288.

We study the action of elementary shift operators on spherical functions on ordered symmetric spaces m,n of Cayley type, where m denotes the multiplicity of the short roots and n the rank of the symmetric space. For m even we apply this to prove a Paley-Wiener theorem for the spherical Laplace transform defined on m,n by a reduction to the rank 1 case. Finally we generalize our notions and results to BC n type root systems.

Nous étudions l’action des opérateurs de shift élémentaires sur les fonctions sphériques des espaces symétriques ordonnés m,n de type Cayley, où m désigne la multiplicité des racines courtes et n le rang de l’espace symétrique. Pour m impair, nous en déduisons un théorème de Paley-Wiener pour la transformation de Laplace sphérique définie sur m,n par une réduction au cas de rang 1. Finalement, nous généralisons nos résultats au cas des systèmes de racines de type BC n .

DOI: 10.5802/aif.1886
Classification: 43A85, 33E30
Keywords: ordered symmetric spaces, spherical Laplace transform, shift operators, Cayley spaces
Mot clés : espaces symétriques ordonnés, transformation de Laplace sphérique, opérateurs de shift, espaces de Cayley

Andersen, Nils Byrial 1; Unterberger, Jérémie M. 2

1 University of New South Wales, School of Mathematics, Sydney NSW 2052 (Australie)
2 Université Henri Poincaré, Institut Élie Cartan, BP 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex (France)
@article{AIF_2002__52_1_275_0,
     author = {Andersen, Nils Byrial and Unterberger, J\'er\'emie M.},
     title = {An application of shift operators to ordered symmetric spaces},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {275--288},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {52},
     number = {1},
     year = {2002},
     doi = {10.5802/aif.1886},
     zbl = {0999.43010},
     mrnumber = {1881580},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1886/}
}
TY  - JOUR
AU  - Andersen, Nils Byrial
AU  - Unterberger, Jérémie M.
TI  - An application of shift operators to ordered symmetric spaces
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2002
SP  - 275
EP  - 288
VL  - 52
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1886/
DO  - 10.5802/aif.1886
LA  - en
ID  - AIF_2002__52_1_275_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Andersen, Nils Byrial
%A Unterberger, Jérémie M.
%T An application of shift operators to ordered symmetric spaces
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2002
%P 275-288
%V 52
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1886/
%R 10.5802/aif.1886
%G en
%F AIF_2002__52_1_275_0
Andersen, Nils Byrial; Unterberger, Jérémie M. An application of shift operators to ordered symmetric spaces. Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 1, pp. 275-288. doi : 10.5802/aif.1886. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1886/

[AU] N.B. Andersen; J. M. Unterberger Harmonic Analysis on S U ( n , n ) / S L ( n , ) × + * , J. Lie Theory, Volume 10 (2000), pp. 311-322 | MR | Zbl

[AÓ] N.B. Andersen; G. Ólafsson Paley-Wiener Theorems for the Spherical Laplace transform on Causal Symmetric Spaces of rank 1, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 129 (2001), pp. 173-179 | DOI | MR | Zbl

[Far] J. Faraut Fonctions sphériques sur un espace symétrique ordonné de type Cayley, Contemp. Math., Volume 191 (1995), pp. 41-55 | MR | Zbl

[FHÓ] J. Faraut; J. Hilgert; G. Ólafsson Spherical functions on ordered symmetric spaces, Ann. Inst. Fourier, Volume 44 (1994) no. 3, pp. 927-966 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[Hec] G. Heckman Dunkl Operators, Séminaire Bourbaki (Astérisque), Volume Vol. 1996/97 ; No 245 ; Exp. No 828, 4 (1997), pp. 223-246 | Numdam | Zbl

[Hel] S. Helgason Groups and Geometric Analysis, Academic Press, Orlando, 1984 | MR | Zbl

[HS] G. Heckman; H. Schlichtkrull Harmonic analysis and special functions on symmetric spaces, Perspectives in Mathematics, Academic Press, 1994 | MR | Zbl

[Miz] M. Mizony Une transformation de Laplace-Jacobi, SIAM J. Math. Anal., Volume 14 (1983), pp. 987-1003 | DOI | MR | Zbl

[Opd] E.M. Opdam Lectures on Dunkl Operators (1998) (e-print, math.RT/9812007)

[Wal] N.R. Wallach Real Reductive Groups I, Pure Appl. Math., Vol. 132, Academic Press, 1988 | MR | Zbl

[Óla1] G. Ólafsson Symmetric spaces of Hermitian type, Differential Geom. Appl., Volume 1 (1991), pp. 195-233 | DOI | MR | Zbl

[Óla2] G. Ólafsson Spherical Functions and Spherical Laplace Transform on Ordered Symmetric Spaces (1997) (Preprint, http://math.lsu.edu/~olafsson/publications.html)

Cited by Sources: