no. 6
Degeneration of Schubert varieties of SL n /B to toric varieties
[Dégénérescence des variétés de Schubert de SL n /B en des variétés toriques]
Dehy, Raika1 ; Yu, Rupert W.T.2
1 Université de Cergy-Pontoise, Département de Mathématiques, 2 avenue Adolphe Chauvin, 95032 Cergy Cedex (France)
2 Université de Poitiers, Département de Mathématiques, Boulevard Marie et Pierre Curie, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1525-1538.

Dans cet article on montre la dégénérescence d’une large classe de variétés de Schubert dans SL n /B en des varietés toriques. Pour cela on utilise les résultats d’un article précédent, dans lequel pour chaque élément w, du groupe de Weyl, on construit n-1 polytopes Δ 1 ...Δ n-1 ayant la propriété suivante : le nombre des points à coordonnées entières dans ∑k i Δ i est la dimension, comme espace vectoriel sur ℂ, du module de Demazure E w (∑k i w i ), où les w i désignent les poids fondamentaux de SL n (ℂ). Or la donnée de n-1 polytopes est équivalente à la donnée d’une variété torique munie de n-1 fibrés en droite ℒ 1 ...ℒ n-1 . L’objectif est de trouver une déformation plate de la variété de Schubert S w , munie des fibrés en droites ℒ w en la variété torique X munie des ℒ i . La démonstration est basée sur un théorème dû à Gonciulea- Lakshmibai impliquant la construction d’un treillis distributif sur un sous-ensemble du groupe de Weyl. L’avantage de cette approche est que d’un côté l’algèbre associée à ce treillis est étroitement liée à la variété torique X et de l’autre côté on sait comment dégénérer l’anneau des coordonnées homogènes sur S w en cette algèbre.

Using the polytopes defined in an earlier paper, we show in this paper the existence of degeneration of a large class of Schubert varieties of SL n to toric varieties by extending the method used by Gonciulea and Lakshmibai for a miniscule G/P to Schubert varieties in SL n .

DOI : 10.5802/aif.1864
Classification : 14M15, 14M25, 06D05
Keywords: Schubert varieties, toric varieties, flat deformations
Mot clés : variétés de Schubert, variétés toriques, déformations plates

Dehy, Raika 1 ; Yu, Rupert W.T. 2

1 Université de Cergy-Pontoise, Département de Mathématiques, 2 avenue Adolphe Chauvin, 95032 Cergy Cedex (France)
2 Université de Poitiers, Département de Mathématiques, Boulevard Marie et Pierre Curie, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex (France) 
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Cité par Sources :