ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme

$$\frac{\partial }{\partial t}U(x,t)+\sum _{\left|p\right|\le m}{A}_p(x,t)D_x^{p}U(x,t)=B(x,t).$$

Lorsque les coefficients $A$ ne dépendent que de $t$, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :

$$\frac{d}{dt}{U}_x\left(t\right)+A_x(t{)}_{\left(x\right)}^{*}{U}_x\left(t\right)=B_x\left(t\right).$$

La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout $t$ sur la variable spatiale $x$ seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour $t=0$ n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante $R_x(t,\tau )$ et la solution d’un problème de Cauchy est donné par

$$U_x\left(t\right)=R_x(t,t_0{)}_{\left(x\right)}^{*}{U}_x(t_0)+{\int }_{t_0}^t(R_x(t,\tau {)}_{\left(x\right)}^{*}{B}_x\left(\tau \right))d\tau .$$

Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.

DOI : 10.5802/aif.18

@article{AIF_1950__2__19_0,
     author = {Schwartz, Laurent},
     title = {Les \'equations d'\'evolution li\'ees au produit de composition},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {19--49},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {2},
     year = {1950},
     doi = {10.5802/aif.18},
     zbl = {0042.33103},
     mrnumber = {13,242b},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.18/}
}

TY  - JOUR
AU  - Schwartz, Laurent
TI  - Les équations d'évolution liées au produit de composition
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1950
SP  - 19
EP  - 49
VL  - 2
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.18/
DO  - 10.5802/aif.18
LA  - fr
ID  - AIF_1950__2__19_0
ER  - 

%0 Journal Article
%A Schwartz, Laurent
%T Les équations d'évolution liées au produit de composition
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1950
%P 19-49
%V 2
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.18/
%R 10.5802/aif.18
%G fr
%F AIF_1950__2__19_0

Schwartz, Laurent. Les équations d'évolution liées au produit de composition. Annales de l'Institut Fourier, Tome 2 (1950), pp. 19-49. doi : 10.5802/aif.18. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.18/