Sections du fibré déterminant sur l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif

Danila, Gentiana

doi:10.5802/aif.1795

Danila, Gentiana

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 5, pp. 1323-1374.

Résumé
Abstract

La conjecture de “dualité étrange” de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif $ℙ_{2}$ . Si on considère deux classes orthogonales $c, u$ dans l’algèbre de Grothendieck $K (ℙ_{2})$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, on note $M_{c}$ et $M_{u}$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$ , respectivement $u$ , sur $ℙ_{2}$ . Il existe sur $M_{c}$ (resp. $M_{u}$ ) un fibré déterminant $𝒟_{u}$ (resp. $𝒟_{c}$ ) et le produit tensoriel externe $𝒟_{u} \times 𝒟_{c}$ sur l’espace produit $M_{c} \times M_{u}$ a une section canonique $σ_{c, u}$ qui fournit une application linéaire $D_{c, u} : H^{0} (M_{u}, 𝒟_{c})^{*} \to H^{0} (M_{c}, 𝒟_{u})$ . Si $M_{c}$ n’est pas vide, la conjecture affirme que $D_{c, u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$ , avec première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_{2} (c) \leq 19$ , et $u$ est de degré $d (u) = 1$ et de caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous calculons dans ce cas la dimension de l’espace des sections globales du fibré déterminant sur $M_{n} = M_{c}$ .

Le Potier’s “Strange Duality” conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the projective plane $ℙ_{2}$ . If we consider two orthogonal classes $c, u$ in the Grothendieck algebra $K (ℙ_{2})$ such that $c$ is of positive rank and $u$ of rank zero, we call $M_{c}$ and $M_{u}$ the moduli spaces of semi-stable sheaves of class $c$ , respectively $u$ on $ℙ_{2}$ . There exists on $M_{c}$ (resp. $M_{u}$ ) a determinant bundle $𝒟_{u}$ (resp. $𝒟_{c}$ ) and the product fibre bundle $𝒟_{u} \times 𝒟_{c}$ on the product space $M_{c} \times M_{u}$ has a canonical section $σ_{c, u}$ which provides a linear application $D_{c, u} : H^{0} (M_{u}, 𝒟_{c})^{*} \to H^{0} (M_{c}, 𝒟_{u})$ . If $M_{c}$ is not empty, $D_{c, u}$ is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where $c$ is of rank $2$ , zero first Chern class and second Chern class $c_{2} (c) \leq 19$ , and $u$ is of degree $d (u) = 1$ and zero Euler-Poincaré characteristic. We compute in this case the dimension of the space of global sections of the determinant bundle on $M_{n} = M_{c}$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1795

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Danila, Gentiana. Sections du fibré déterminant sur l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif. Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 5, pp. 1323-1374. doi : 10.5802/aif.1795. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1795/

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