Systèmes linéaires adjoints $L^2$

Eyssidieux, Philippe

doi:10.5802/aif.1670

Systèmes linéaires adjoints

L^{2}

Eyssidieux, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 141-176.

Résumé
Abstract

Nous développons une version de la théorie d’indice $L^{2}$ d’Atiyah pour les faisceaux cohérents sur les variétés algébriques lisses et l’utilisons pour attaquer certaines questions de J. Kollár.

Soit $X$ une variété complexe compacte projective algébrique lisse et connexe. Nous prouvons que si $L$ est un diviseur nef et gros, tel que la restriction de $K_{X} + L$ à la fibre générale d’une application de Shafarevich est effective, $K_{X} + L$ est effectif.

Soit $X$ une variété kählérienne compacte telle qu’il existe une classe de cohomologie de type $(1, 1)$ qui soit big et provienne du groupe fondamental de $X$ . Nous prouvons que $χ (X, K_{X}) \geq 0$ . Si $χ (X, K_{X}) \neq 0$ , le revêtement universel de $X$ porte une forme holomorphe $L^{2}$ de degré maximale non triviale. Si $χ (X, K_{X}) = 0$ , nous prouvons que zéro est dans le spectre du laplacien sur les formes de degré moitié si le groupe fondamental est de croissance sous-exponentielle.

We adapt Atiyah’s $L^{2}$ -index theory to treat coherent sheaves on algebraic manifolds and use it as a tool to investigate certain questions posed by J. Kollár.

Let $X$ be a connected projective algebraic compact complex manifold. We prove that, if $L$ is a big and nef divisor on $X$ , such that the restriction of $K_{X} + L$ to the general fiber of a Shafarevich map is effective, $K_{X} + L$ is effective.

Let $X$ be a connected Kähler manifold such that some big cohomology class of type $(1, 1)$ is in the image of $H^{2} (π_{1} (X), ℝ)$ . We prove that $χ (X, K_{X}) \geq 0$ . Furthermore, if $χ (X, K_{X})$ is not $0$ , the universal covering space of $X$ carries a non trivial $L^{2}$ holomorphic form of maximal degree. If $χ (X, K_{X})$ is zero, we prove that zero belongs to the spectrum of the Laplace-Beltrami operator on the middle degree forms, provided the fundamental group has subexponential growth.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1670

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Eyssidieux, Philippe. Systèmes linéaires adjoints $L^2$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 141-176. doi : 10.5802/aif.1670. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1670/

Bibliographie
Cité par

[1] U. Angehrn et Y.T. Siu, Effective freeness and point separation for adjoint bundles, Invent. Math., 122 (1995), 291-308. | EuDML | MR | Zbl

[2] M. Atiyah, Elliptic operators, discrete groups and Von Neumann algebras Soc. Math. Fr. Asterisque, 32-33, 1976, 43-72. | Zbl

[3] N. Berline, E. Getzler, M. Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 298, Springer, 1992. | MR | Zbl

[4] F. Campana, Remarques sur le revêtement universel des variété kähleriennes, Bull. Soc. Math. Fr., 122 (1994), 255-284. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[5] F. Campana, Fundamental group and positivity of cotangent bundles of compact Kähler manifolds, J. Alg. Geo., 4 (1995), 487-502. | MR | Zbl

[6] F. Campana et J.-P. Demailly, Communication personnelle.

[7] J.P. Demailly, L2 Vanishing theorems for Positive Line Bundles and Adjunction Theory, in Transcendental Methods in Algebraic Geometry, édité par F. Catanese et C. Ciliberto, LNM, 1646 (1996), Springer Verlag. | MR | Zbl

[8] J.-P. Demailly, Estimations L2 pour l'opérateur ∂ d'un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au dessus d'une variété kählerienne complète, Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, 15 (1982), 457-511. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[9] P. Eyssidieux, La caractéristique d'Euler du complexe de Gauss-Manin, J. für reine und angew. Math., 490 (1997) 155-212. | EuDML | MR | Zbl

[10] P. Eyssidieux, Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques cohérents, Prépublication n. 124 du Laboratoire Emile Picard (Juin 1998), math. AG/9806159. | Zbl

[11] M. Farber, Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morse inequalities, GAFA, Vol. 6, n° 4 (1996) 628-665. | MR | Zbl

[12] H. Grauert et R. Remmert, Coherent Analytic Sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 265, Springer, 1984. | MR | Zbl

[13] R. Hartshorne, Algebraic geometry, GTM 52, Springer, 1977. | MR | Zbl

[14] H. Hironaka, Résolution of singularities over a field of characteristic zero, Ann. of Math., 79 (1964), 109-326. | MR | Zbl

[15] M. Green et R. Lazarsfeld, Deformation theory, Generic vanishing theorems and some conjectures of Enriques, Catanese and Beauville, Inv. Math., 90 (1987), 389-407. | Zbl

[16] M. Gromov, Kähler hyperbolicity and L2-Hodge theory, Journal of Differential Geometry, 33, 1991, 263-291. | MR | Zbl

[17] M. Gromov, G. Henkin, M. Shubin, L2 holomorphic functions on pseudoconvex coverings, GAFA, Vol. 8, n° 3 (1998) 552-585. | MR | Zbl

[18] D. Kazhdan, On arithmetic varieties, in Lie Groups and their representations, Halsted, New York, 1975. | MR | Zbl

[19] J. Kollár, Shafarevich maps and Automorphic Forms, Princeton University Press, 1995. | MR | Zbl

[20] J. Kollár, Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties, Inv. Math., 113 (1993), 177-215. | MR | Zbl

[21] S. Novikov et M. Shubin, Morse inequalities and Von Neumann invariants of non simply connected manifolds, Uspehi Matem. Nauk, 41 (1986), 222.

[22] P. Pansu, An introduction to L2 Betti numbers, dans Riemmannian Geometry, ed. Besson, Lokhamp, Pansu, Petersen, Fields Institute Monographs, AMS, 1996. | MR | Zbl

[23] H. Skoda, Sous-ensembles analytiques d'ordre fini ou infini dans ℂn, Bull. Soc. Math. Fr., 100 (1972), 353-408. | Numdam | MR | Zbl

[24] S. Takayama, Nonvanishing Theorems on an algebraic Variety with large fundamental group, Prépublication, Naruto University of Education, (1997) à paraître J. Alg. Geom. | Zbl

[25] K. Yosida, Functionnal Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 123, 6e édition, Springer, 1980. | MR | Zbl

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