no. 4
Intégrales orbitales sur GL(N) et corps locaux proches
Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 1027-1056.

Soient F un corps local non archimédien, N un entier ≥2, G ̲=GL(N), n un entier ≥1 et ℋ(G ̲(F),K F n ) l’algèbre de Hecke de G ̲(F) relative au sous-groupe de congruence modulo 𝒫 F n de G ̲(𝒪 F ). On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de ℋ(G ̲(F),K F n ). Grâce à cette formule, pour γ∈G ̲(F) semi-simple régulier, on produit un entier r=r(γ,n)≥n tel que pour tout corps local non archimédien F ′ r-proche de F (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux 𝒪 F /𝒫 F r ≃𝒪 F ′ /𝒫 F ′ r ), il existe γ ′ ∈G ̲(F ′ ) semi-simple régulier tel que les intégrales orbitales au point γ de toutes les fonctions de ℋ(G ̲(F),K F n ) coïncident, via la donnée d’un isomorphisme d’algèbres ℋ(G ̲(F),K F n )≃ℋ(G ̲(F ′ ),K F ′ n ), avec celles des fonctions de ℋ(G ̲(F ′ ),K F ′ n ) au point γ ′ .

Let F be a local non-archimedean field, N an integer ≥2, G ̲=GL(N), n a positive integer and ℋ(G ̲(F),K F n ) the Hecke algebra of G ̲(F) with respect to the congruence subgroup modulo 𝒫 F n of G ̲(𝒪 F ). We prove an explicit formula for the elliptic orbital integrals of functions in ℋ(G ̲(F),K F n ). Thanks to this formula, for γ∈G ̲(F) semi-simple regular, we produce an integer r=r(γ,n)≥n such that for any local non-archimedean field F ′ r-close to F (i.e. such that there exists an isomorphism of rings 𝒪 F /𝒫 F r ≃𝒪 F ′ /𝒫 F ′ r ), there exists γ ′ ∈G ̲(F ′ ) semi-simple regular such that the orbital integrals at γ of all functions in ℋ(G ̲(F),K F n ) match, via a given isomorphism of algebras ℋ(G ̲(F),K F n )≃ℋ(G ̲(F ′ ),K F ′ n ), those of functions in ℋ(G ̲(F ′ ),K F ′ n ) at γ ′ .

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Lemaire, Bertrand. Intégrales orbitales sur $GL(N)$ et corps locaux proches. Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 1027-1056. doi : 10.5802/aif.1539. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1539/

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