Sur les modules des points de 7-torsion d'une famille de courbes elliptiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 899-907.

Existe-t-il deux courbes elliptiques sur Q non isogènes sur Q, et un entier n7, tels que les représentations de Gal (Q ¯/Q) définies par leurs groupes des points de n-torsion soient symplectiquement isomorphes ? Cette question a été posée par B. Mazur en 1978. Dans le cas où n=7, on explicite une infinité d’exemples répondant positivement à cette question.

Do there exist two elliptic curves over Q, which are non isogenous over Q and an integer n7, such that the representations of Gal (Q ¯/Q) defined by their n-torsion groups of points are symplectically isomorphic ? This question has been raised by B. Mazur in 1978. In the case n=7, we get infinitely many examples giving a positive answer to that question.

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Kraus, Alain. Sur les modules des points de 7-torsion d'une famille de courbes elliptiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 4, pp. 899-907. doi : 10.5802/aif.1534. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1534/

[1] B.J. Birch, Cyclotomic fields and Kummer extensions, dans : Algebraic Number Theory, édité par J.W.S. Cassels et A. Fröhlich, Academic Press (1967), 85-93.

[2] H. Darmon et A. Granville, On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr, preprint, 1995.

[3] E. Halberstadt et A. Kraus, Sur la comparaison galoisienne des points de torsion des courbes elliptiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 322 (1996), 313-316. | MR | Zbl

[4] E. Kani et W. Schanz, Diagonal quotient surfaces, preprint, 1995.

[5] A. Kraus, Sur le défaut de semi-stabilité des courbes elliptiques à réduction additive, Manuscripta Math., 69 (1990), 353-385. | MR | Zbl

[6] A. Kraus et J. Oesterlé, Sur une question de B. Mazur, Math. Ann., 293 (1992), 259-275. | MR | Zbl

[7] B. Mazur, Rational isogenies of prime degree, Invent. Math., 44 (1978), 129-162. | MR | Zbl

[8] B. Mazur, Questions about number, New directions in mathematics, 1995 (à paraître).

[9] J.-F. Mestre, Courbes elliptiques et groupe des classes d'idéaux, J. Crelle, 343 (1983), 23-35. | MR | Zbl

[10] T. Nagell, Des équations indéterminées x2 + x + 1 = yn et x2 + x + 1 = 3yn, Norsk. M. F. Skriffer, Série I (1921). | JFM

[11] J.-P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math., 15 (1972), 259-331. | MR | Zbl

[12] J. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, G.T.M. 106, Springer-Verlag (1986). | MR | Zbl

[13] J. Tate, Algorithm for determining the type of a singular fiber in an elliptic pencil, Modular functions of one variable IV, Lecture Notes in Math. 476, Springer-Verlag (1975), 33-52.

[14] J. Vélu, Isogénies entre courbes elliptiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 273 (1971), 238-241. | MR | Zbl

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