Let be an elliptic curve defined over by a generalized Weierstrass equation:
Let , with , be a rational point on this curve. For every integer , we express the coordinates of in the form:
where and , , are obtained from these by multiplying by appropriate powers of .
Let be a rational odd prime and suppose that is non singular and that the rank of apparition of in the sequence of integer is at least equal to three. Denote this rank by and let . We show that the sequence is periodic (mod ) for every . Denote this period by , then there exists a rank effectively computable, , such that and for . These considerations are used to find -integral points on elliptic curves.
Soit une courbe elliptique sur par un modèle de Weierstrass généralisé :
Soit avec , un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier , on exprime les coordonnées de sous la forme :
où et , , sont déduits par multiplication par des puissances convenables de .
Soit un nombre premier impair et supposons que est non singulier et que le rang d’apparition de dans la suite d’entiers est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par et soit . Nous montrons que la suite est périodique (mod ) pour tout . Notons cette période par , alors il existe un rang effectivement calculable, avec , tel que et pour . Ces considérations sont utilisées pour déterminer les points -entiers sur les courbes elliptiques.
@article{AIF_1993__43_3_585_0, author = {Ayad, Mohamed}, title = {P\'eriodicit\'e (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {585--618}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {43}, number = {3}, year = {1993}, doi = {10.5802/aif.1349}, zbl = {0781.11007}, mrnumber = {94f:11009}, language = {fr}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1349/} }
TY - JOUR AU - Ayad, Mohamed TI - Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1993 SP - 585 EP - 618 VL - 43 IS - 3 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1349/ DO - 10.5802/aif.1349 LA - fr ID - AIF_1993__43_3_585_0 ER -
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Ayad, Mohamed. Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 43 (1993) no. 3, pp. 585-618. doi : 10.5802/aif.1349. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1349/
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