Réarrangement, inégalités maximales et théorèmes ergodiques fractionnaires

Broise, Michel; Déniel, Yves; Derriennic, Yves

doi:10.5802/aif.1183

Broise, Michel ; Déniel, Yves ; Derriennic, Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 689-714.

Résumé
Abstract

Étant donné un semi-flot mesurable $(θ_{x})_{x \in ℝ_{+}^{d}}$ préservant une mesure de probabilité $μ$ sur un espace $Ω$ , nous considérons les moyennes ergodiques $t^{- d} \int_{ℝ_{+}^{d}} φ (x / t) f \circ θ_{x} d x$ où $φ$ est un “poids” à support compact sur $ℝ_{+}^{d}$ , c’est-à-dire que $φ$ vérifie $φ \geq 0$ et $\int φ (x) d x = 1$ . Nous démontrons la convergence p.p. de ces moyennes quand $t \to + \infty$ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz défini par le poids $φ^{*}$ qui est le réarrangé décroissant de $φ$ . En particulier, pour $d = 1$ , on obtient la convergence p.p. des moyennes de Césarò d’ordre $α$ $α t^{- α} \int_{0}^{t} (t - x)^{α - 1} f \circ θ_{x} d x,$ $α > 0,$ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz usuel $L (1 / α, 1)$ . Nous démontrons aussi des résultats similaires pour des moyennes discrètes. Le point crucial de la démonstration est une nouvelle inégalité maximale ergodique.

Enfin nous montrons que pour un poids $φ$ qui a une forme “croissante”, en particulier pour les moyennes $(C, α)$ avec $0 < α \leq 1$ , l’espace de Lorentz est le plus grand espace invariant par réarrangement équimesurable, pour lequel cette convergence p.p. est vraie.

Given a measurable semi-flow $(θ_{x})_{x \in ℝ_{+}^{d}}$ preserving a probability measure $μ$ on a space $Ω$ , we consider the ergodic averages $t^{- d} \int_{ℝ_{+}^{d}} ϕ (x / t) f \circ θ_{x} d x$ where $ϕ$ is a compactly supported “weight” on $ℝ_{+}^{d}$ , that is $ϕ \geq 0$ and $\int ϕ (x) d x = 1$ . We prove the a.e. convergence of these averages when $t \to + \infty$ if $f$ belongs to the Lorentz space defined by the weight $ϕ^{*}$ which is the decreasing rearrangement of $ϕ$ . With $d = 1$ we obtain in particular the a.e. convergence of the Cesáro- $α$ averages $α t^{- α} \int_{0}^{t} (t - x)^{α - 1} f \circ θ_{x} d x$ , $α > 0$ , if $f$ belongs to the usual Lorentz space $L (1 / α, 1) .$ We prove also the similar results for discrete averages. The main step of the proof is a new maximal ergodic inequality. At last we show that for an “increasingly shaped” weight $ϕ$ , in particular for the $(C, α)$ averages with $0 < α \leq 1$ , the Lorentz space is the largest space, invariant under equimesurable rearrangement, for which this a.e. convergence holds.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1183

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Broise, Michel; Déniel, Yves; Derriennic, Yves. Réarrangement, inégalités maximales et théorèmes ergodiques fractionnaires. Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 689-714. doi : 10.5802/aif.1183. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1183/

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