Pappus Theorem, Schwartz Representations  and Anosov Representations

Barbot, Thierry; Lee, Gye-Seon; Valério, Viviane Pardini

doi:10.5802/aif.3221

Pappus Theorem, Schwartz Representations and Anosov Representations
[Théorème de Pappus, représentations de Schwartz et représentations Anosov]

Barbot, Thierry ¹ ; Lee, Gye-Seon ² ; Valério, Viviane Pardini ³

¹ Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse, Laboratoire de Mathématiques Campus Jean-Henri Fabre 301 rue Baruch de Spinoza BP 21239 84916 Avignon Cedex 9 (France)
² Mathematisches Institut, Universität Heidelberg Im Neuenheimer Feld 205 69120 Heidelberg (Germany)
³ Universidade Federal de São João del Rei Departamento de Matemática e Estatística Praça Frei Orlando, 170, Centro, CEP: 36307-352 São João del Rei, Minas Gerais (Brazil)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 6, pp. 2697-2741.

Résumé
Abstract

Dans l’article Pappus’s theorem and the modular group R. Schwartz a montré que le Théorème de Pappus fournissait une famille à deux paramètres de représentations $ρ_{Θ}$ du groupe modulaire $PSL (2, ℤ)$ dans le groupe $𝒢$ de symétries projectives du plan projectif. L’image de l’unique sous-groupe $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ d’indice $2$ de $PSL (2, ℤ)$ par chaque $ρ_{Θ}$ de $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ est contenue dans le sous-groupe $PGL (3, ℝ)$ de $𝒢$ formé des transformations projectives, et préserve un cercle topologique dans la variété des drapeaux. Cependant, elles ne sont pas Anosov. Dans sa thèse [18, 19], V. P. Valério a élucidé ce comportement de type Anosov des représentations de Schwartz. Pour chaque représentation $ρ_{Θ}$ , il existe une famille à un paramètre ${(ρ_{Θ}^{ε})}_{ε \in ℝ}$ de représentations Anosov de $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ dans $PGL (3, ℝ)$ telles que $ρ_{Θ}^{0}$ soit la restriction de $ρ_{Θ}$ à $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ et de sorte que $ρ_{Θ}^{ε}$ soit Anosov pour $ε < 0$ . Dans le présent article, nous améliorons son travail. Pour chaque représentation $ρ_{Θ}$ , nous construisons une famille à deux paramètres de représentations Anosov ${(ρ_{Θ}^{λ})}_{λ \in ℝ^{2}}$ de $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ vers $PGL (3, ℝ)$ contenant les $ρ_{Θ}^{ε}$ , ainsi qu’une sous-famille à un paramètre de représentations qui s’étendent en des représentations de $PSL (2, ℤ)$ vers $𝒢$ . Ceci montre qu’en un certain sens, les représentations de Schwartz sont dans le bord de l’ensemble des représentations Anosov dans l’espace de toutes les représentations de $PSL (2, ℤ)$ vers $𝒢$ .

In the paper Pappus’s theorem and the modular group, R. Schwartz constructed a $2$ -dimensional family of faithful representations $ρ_{Θ}$ of the modular group $PSL (2, ℤ)$ into the group $𝒢$ of projective symmetries of the projective plane via Pappus Theorem. The image of the unique index $2$ subgroup $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ of $PSL (2, ℤ)$ under each representation $ρ_{Θ}$ is in the subgroup $PGL (3, ℝ)$ of $𝒢$ and preserves a topological circle in the flag variety, but $ρ_{Θ}$ is not Anosov. In her PhD Thesis [18, 19], V. P. Valério elucidated the Anosov-like feature of Schwartz representations: for every $ρ_{Θ}$ , there exists a $1$ -dimensional family of Anosov representations $ρ_{Θ}^{ε}$ of $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ into $PGL (3, ℝ)$ whose limit is the restriction of $ρ_{Θ}$ to $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ . In this paper, we improve her work: for each $ρ_{Θ}$ , we build a $2$ -dimensional family of Anosov representations of $PSL {(2, ℤ)}_{o}$ into $PGL (3, ℝ)$ containing $ρ_{Θ}^{ε}$ and a $1$ -dimensional subfamily of which can extend to representations of $PSL (2, ℤ)$ into $𝒢$ . Schwartz representations are therefore, in a sense, the limits of Anosov representations of $PSL (2, ℤ)$ into $𝒢$ .

Reçu le : 2016-10-24
Révisé le : 2017-11-01
Accepté le : 2018-01-25
Publié le : 2018-11-23

DOI : 10.5802/aif.3221

Classification : 37D20, 37D40, 20M30, 22E40, 53A20
Keywords: Pappus Theorem, modular group, group of projective symmetries, Farey triangulation, Schwartz representation, Gromov-hyperbolic group, Anosov representation, Hilbert metric
Mots-clés : Théorème de Pappus, groupe modulaire, groupe de symétries projectives, triangulation de Farey, représentation de Schwatz, groupe hyperbolique au sens de Gromov, représentation Anosov, métrique de Hilbert

Affiliations des auteurs :

Barbot, Thierry ¹ ; Lee, Gye-Seon ² ; Valério, Viviane Pardini ³

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Barbot, Thierry; Lee, Gye-Seon; Valério, Viviane Pardini. Pappus Theorem, Schwartz Representations  and Anosov Representations. Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 6, pp. 2697-2741. doi : 10.5802/aif.3221. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3221/

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