Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique  [ Plancherel formula for Whittaker functions on a p-adic reductive group ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 63 (2013) no. 1, p. 155-217
We prove the Plancherel formula for Whittaker functions on a reductive p-adic group. The methods are close to those of the proof of Waldspurger, folllowing Harish-Chandra, for smooth functions on the group. We hope also  that this article suggests the right framework for studying other Plancherel formulas, especially reductive p-adic symmetric spaces.  It shows in particular the role played by the B-matrices and their adjunction property.
Nous prouvons la formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique. Les méthodes sont proches de celles de la preuve de Waldspurger, d’après Harish-Chandra, pour les fonctions lisses sur le groupe.Au delà du résultat, ce travail  met en place un cadre qui devrait s’avérer utile pour d’autres formules de Plancherel, notamment pour les espaces symétriques réductifs p-adiques. En particulier, il met en valeur le role des matrices B et de leur propriété d’adjonction.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2758
Classification:  22E50
Keywords: Reductive p-adic group, Whittaker function, Plancherel formula
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Delorme, Patrick. Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif $p$-adique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 63 (2013) no. 1, pp. 155-217. doi : 10.5802/aif.2758. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2013__63_1_155_0/

[1] Arthur, J. A local trace formula, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (1991) no. 73, pp. 5-96 | Article | Numdam | MR 1114210 | Zbl 0741.22013

[2] Bernstein, J. On the support of the Plancherel measure, J. Geom. Phys., Tome 5 (1988), pp. 663-710 ((1989)) | Article | MR 1075727 | Zbl 0725.43010

[3] Blanc, P.; Delorme, P. Vecteurs distributions H-invariants de représentations induites pour un espace symétrique réductif p-adique G/H, Ann. Inst. Fourier, Tome 58 (2008), pp. 213-261 | Article | MR 2401221 | Zbl 1151.22012

[4] Borel, A.; Tits, J. Groupes réductifs, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Tome 27 (1965), pp. 55-150 | Article | Numdam | MR 207712 | Zbl 0145.17402

[5] Bushnell, C.; Henniart, G. Generalized Whittaker models and the Bernstein center, Amer. J. Math., Tome 125 (2003), pp. 513-547 | Article | MR 1981032 | Zbl 1031.11028

[6] Casselman, W. Introduction to the theory of admissible representations of p-adic reductive groups (http://www.math.ubc.ca/~cass/research.html)

[7] Casselman, W.; Shalika, J. The unramified principal series of p-adic groups. II. The Whittaker function, Compositio Math., Tome 41 (1980), pp. 207-231 | Numdam | MR 581582 | Zbl 0472.22005

[8] Deligne, P. Le “centre” de Bernstein rédigé par Pierre Deligne. Travaux en Cours, Hermann, Paris (Representations of reductive groups over a local field) (1984), pp. 1-32 | MR 771671 | Zbl 0599.22016

[9] Delorme, P. Théorème de Paley-Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique (à paraitre au J. Inst. Math. Jussieu, arXiv :0905.2598) | Zbl 1255.22012

[10] Delorme, P. Espace des coefficients de représentations admissibles d’un groupe réductif p-adique, Birkhauser Boston, Boston, MA (Progr. Math.) Tome 220 (2004), pp. 131-176 | MR 2036570 | Zbl 1059.22018

[11] Delorme, P. The Plancherel formula on reductive symmetric spaces from the point of view of the Schwartz space. Lie theory, Birkhauser Boston, Boston, MA (Progr. Math.) Tome 230 (2005), pp. 135-175 | MR 2099395 | Zbl 1077.43008

[12] Delorme, P. Constant term of smooth H ψ -invariant functions, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 362 (2010), pp. 933-955 | Article | MR 2551511 | Zbl 1193.22014

[13] Heiermann, V. Une formule de Plancherel pour l’algèbre de Hecke d’un groupe réductif p-adique, Comment. Math. Helv., Tome 76 (2001), pp. 388-415 | Article | MR 1854691 | Zbl 0990.22008

[14] Humphreys, J. E. Linear algebraic groups, Springer, Graduate Text In Math, Tome 21 (1981) | MR 396773 | Zbl 0471.20029

[15] Knapp, A. Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples, Princeton University Press, Princeton, NJ (Reprint of the 1986 original. Princeton Landmarks in Mathematics) (2001) | MR 1880691 | Zbl 0993.22001

[16] Matringe, N. Derivatives and asymptotics of Whittaker functions (arXiv :1004.1315)

[17] Rodier, F. Modèles de Whittaker des représentations admisssibles des groupes réductifs p-adiques quasi-déployés (manuscript non publié)

[18] Sakellaridis, Y.; Venkatesh, A. Periods and harmonic analysis on spherical varieties (preliminary version available on the web page of the first author)

[19] Shahidi, F. On certain L-functions, Amer. J. Math., Tome 103 (1981), pp. 297-355 | Article | MR 610479 | Zbl 0467.12013

[20] Waldspurger, J.-L. La formule de Plancherel pour les groupes p-adiques (d’après Harish-Chandra), J. Inst. Math. Jussieu, Tome 2 (2003), pp. 235-333 | Article | MR 1989693 | Zbl 1029.22016

[21] Wallach, N. Real reductive groups. II, Academic Press, Inc., Boston, MA, Pure and Applied Mathematics, 132-II (1992) | MR 1170566 | Zbl 0785.22001

[22] Warner, G. Harmonic analysis on semi-simple Lie groups. I, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 188 (1972) | MR 498999 | Zbl 0265.22020