ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Modules pour les familles de courbes planes
Annales de l'Institut Fourier, Volume 39 (1989) no. 1, p. 225-238
The study of smooth plane curves family is moreless the study of “divergent” diagrams$ℝ\stackrel{f}{\phantom{\rule{0.0pt}{0ex}}←}S\stackrel{\sigma }{\phantom{\rule{0.0pt}{0ex}}\to }{ℝ}^{2}$where $S$ is a surface, $f$ and $\sigma$ being smooth. In the classification of such diagrams appear three types of moduli: local moduli corresponding to every cusp of $\sigma$, semi-local moduli corresponding to superposition of different local situations and global moduli corresponding to each “contact curve” where two curves of the family are tangent. Giving a very precise canonical form for generic cusps we explicit local moduli. We also describe global moduli: we attach to each contact curve a “false” billiard, cycles of which give invariants for the classification. It follows, among others, that there are no stable $\left(f,\sigma \right)$ when $S$ is compact.
L’étude des familles de courbes plane différentiables se ramène a celle des diagrammes$ℝ\stackrel{f}{\phantom{\rule{0.0pt}{0ex}}←}S\stackrel{\sigma }{\phantom{\rule{0.0pt}{0ex}}\to }{ℝ}^{2}$$S$ est une surface, $f$ et $\sigma$ étant différentiables. Dans la classification de ces diagrammes à équivalence près il apparaît trois types de modules: des modules locaux attachés à chaque fronce de $\sigma$, des modules semi-locaux attachés à la superposition en un même point de plusieurs situations locales, des modules globaux attachés aux “courbes de contact” le long desquelles certaines courbes sont tangentes. Nous explicitons ici les modules locaux en donnant une forme canonique très précise des fronces “génériques”. Par ailleurs nous décrivons les modules globaux : on montre qu’à chaque courbe de contact est associé un “faux billard” dont les cycles donnent des invariants. On en déduit en particulier que, si $S$ est une surface compacte, $\left(f,\sigma \right)$ ne peut être stable.
@article{AIF_1989__39_1_225_0,
author = {Dufour, Jean-Paul},
title = {Modules pour les familles de courbes planes},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
volume = {39},
number = {1},
year = {1989},
pages = {225-238},
doi = {10.5802/aif.1165},
mrnumber = {91h:58008},
zbl = {0742.58003},
language = {fr},
url = {https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1989__39_1_225_0}
}

Dufour, Jean-Paul. Modules pour les familles de courbes planes. Annales de l'Institut Fourier, Volume 39 (1989) no. 1, pp. 225-238. doi : 10.5802/aif.1165. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1989__39_1_225_0/

[1] V.I. Arnol'D, Wave fronts evolution and equivariant Morse lemma, Comm. Pure Appl. Math., 29 (1976), 557-582. | MR 55 #9148 | Zbl 0343.58003

[2] W. Blaschke, Einführung in die Geometrie der Waben, Birkhäuser, Basel (1955).

[3] M.J. Dias Carneiro, Singularities of envelopes of families of submanifolds in ℝn, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. 4ème série, 16-2 (1983), 173-192. | Numdam | Zbl 0525.58008

[4] S.S. Chern - P. Griffiths, Abel's theorem and webs, J.d. Dt. Math.-Verein, 8 (1978), 13-110. | MR 80b:53008 | Zbl 0386.14002

[5] J.P. Dufour, Familles de courbes planes différentiables, Topology, 22-4 (1983), 449-474. | MR 84k:58034 | Zbl 0521.58012

[6] J.P. Dufour, Couples de fonctions et faux billards, A paraître. | Zbl 0691.58009

[7] J.P. Dufour - P. Jean, Rigidity of webs and families of hypersurfaces, Singularities & Dynamical systems, Elsevier Science Publishers B.V., North Holland 1985. | Zbl 0583.57015

[8] M. Golubitsky - V. Guillemin, Stable mappings and their singularities, Graduate Text in Mathematics, Springer Verlag (1973). | MR 49 #6269 | Zbl 0294.58004

[9] I. Nakai, Topology of complex webs of codimension one and geometry of projective space curves, Topology, 26-4 (1987), 475-504. | MR 89b:14010 | Zbl 0647.57018

[10] R. Thom, Sur la théorie des enveloppes, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XLI-2 (1962). | MR 25 #4454 | Zbl 0105.16102

[11] S.M. Voronin, Analytic classification of pairs of involutions and its applications, Funct. Anal. and its appl., 16-2 (1982), 94-100. | MR 83j:58013 | Zbl 0521.30010