We prove asymptotic Morse-Witten inequalities for the dimension of cohomology groups of tensor powers of a holomorphic hermitian line bundle over a compact complex manifold. The dimension of the -th cohomology group is shown to be bounded above by an intrinsic curvature integral, extended to the set of points of index with respect to the bundle curvature form. The proof rests upon a spectral theorem which describes the asymptotic distribution of the eigenvalues of the Schrödinger operator associated to a large magnetic field. As an application, we find a new proof of the Grauert-Riemanschneider conjecture on the characterization of Moisezon spaces, recently solved by Siu, under more general geometric assumptions which do not necessarily require the bundle pointwise semi-positivity.
Nous démontrons des inégalités de Morse-Witten asymptotiques pour la dimension des groupes de cohomologie des puissances tensorielles d’un fibré holomorphe en droites hermitien au-dessus d’une variété - analytique compacte. La dimension du -ième groupe de cohomologie se trouve ainsi majorée par une intégrale de courbure intrinsèque, étendue à l’ensemble des points d’indice de la forme de courbure du fibré. La preuve repose sur un théorème spectral qui décrit la distribution asymptotique des valeurs propres de l’opérateur de Schrödinger associé à un champ magnétique assez grand. Comme application, nous obtenons une nouvelle démonstration de la conjecture de Grauert-Riemenschneider sur la caractérisation des espaces de Moisezon, résolue récemment par Siu, sous des hypothèses géométriques plus générales qui n’exigent pas nécessairement la semi-positivité ponctuelle du fibré.
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Demailly, Jean-Pierre. Champs magnétiques et inégalités de Morse pour la $d^{\prime \prime }$-cohomologie. Annales de l'Institut Fourier, Volume 35 (1985) no. 4, pp. 189-229. doi : 10.5802/aif.1034. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1034/
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