On étudie l’ordre de l’élément défini dans le groupe des classes par l’anneau des entiers d’une extension galoisienne finie et modérément ramifiée d’un corps de nombres , de groupe de Galois . On démontre que cet ordre divise et que pour certains groupes , métabéliens ou quaternioniens il est égal à 1 ou 2 suivant le signe des constantes de l’équation fonctionnelle des séries -d’Artin associées aux caractères symplectiques de . On en déduit de nouveaux exemples d’extensions qui possèdent une base normale d’entiers.
Let be a finite group, a number field and a tame Galois extension of with group . In the class group we study the order of the class of the ring of integers of . We prove that this order divides and that is 1 or 2 when is metabelian or quaternionian, this depending on the Artin root numbers of the symplectic characters of . We deduce new examples of extensions of with normal integral basis.
@article{AIF_1978__28_3_1_0, author = {Cassou-Nogu\`es, Philippe}, title = {Quelques th\'eor\`emes de base normale d'entiers}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1--33}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {28}, number = {3}, year = {1978}, doi = {10.5802/aif.699}, mrnumber = {511812}, zbl = {0368.12004}, language = {fr}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.699/} }
TY - JOUR AU - Cassou-Noguès, Philippe TI - Quelques théorèmes de base normale d'entiers JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1978 SP - 1 EP - 33 VL - 28 IS - 3 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.699/ DO - 10.5802/aif.699 LA - fr ID - AIF_1978__28_3_1_0 ER -
Cassou-Noguès, Philippe. Quelques théorèmes de base normale d'entiers. Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 3, pp. 1-33. doi : 10.5802/aif.699. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.699/
[1] Classes d'idéaux de l'algèbre d'un groupe abélien et applications, Mémoire de la S.M.F., n° 37 (1974). | Numdam | Zbl
,[2] Groupe des classes de l'algèbre d'un groupe métacyclique, J. of Algebra, 1 (1976). | Zbl
,[3] Structure galoisienne des anneaux d'entiers, à paraître in Proc. London Math. Soc. | Zbl
,[4] Quelques théorèmes de base normale, Journées Arithmétiques de Caen (1976), Astérisque, 41-42 (1977), 183-189. | Zbl
,[4a] Théorèmes de base normale, Séminaire de Théorie des Nombres, Bordeaux, exposé n° 27 (1976-1977) (à paraître). | Zbl
,[5] Galois module structure, Durham symposium in Algebraic Number Fields, A. Fröhlich éd. Academic Press, (1977), 133-191. | MR | Zbl
,[6] Arithmetic and Galois module structure, J. reine angew. Math., 286-287 (1976), 380-439. | MR | Zbl
,[7] Galois module structure and Artin L-functions, Proc. int. congress of Mathematicians Vancouver (1974), 1 (1975), 351-356. | Zbl
,[8] A normal integral basis theorem, J. of Algebra, vol. 39 (1976), n° 1. | MR | Zbl
,[9] Module invariants and root numbers for quaternion fields of degree 4lr, Proc. Camb. Phil. Soc., 76 (1974), 393-399. | Zbl
,[10] Artin root numbers, conductors and representations for generalised quaternion groups, Proc. London Math. Soc., 28 (1974). | Zbl
,[11] The class-group of quaternion and dihedral 2-groups, Mathematika, vol 21 (1974), n° 41. | Zbl
, , ,[12] Sur la décomposition des algèbres de groupes, Ann. Sc. de l'E.N.S., 4e série, 4 (1971), 121-180. | Numdam | MR | Zbl
,[13] Class groups for integral representations of metacyclic groups, Mathematika, 19 (1972), 105-111. | MR | Zbl
, , ,[14] Artin root numbers for real characters, Trans. Amer. Math. Soc., (1976), 35-38. | MR | Zbl
,[15] The theory of groups. The Macmillan Company, New-York (1959). | MR | Zbl
,[16] Some criteria of hereditarity of crossed products, Osaka J. Math., 1 (1964), 69-80. | MR | Zbl
,[17] Hereditary orders, Trans. Amer. Math. Soc., 107 (1963), 273-290. | MR | Zbl
,[18] Die theorie der algebraishen Zahlkörper, Jahresbericht D. Math. Ver., (1897). | JFM
,[19] On extensions of lattices, Michigan Math. J., 13 (1966), 471-475. | MR | Zbl
,[20] Class group of metacyclic group of order prq, Mathematika, vol. 21 (1974), n° 41. | Zbl
,[21] Modules sur l'algèbre du groupe quaternionien, Ann. Sc. de l'E.N.S., 4e série, 4, (1971), 299-308. | Numdam | MR | Zbl
,[22] Maximal orders, Academic Press, London (1975). | MR | Zbl
,[23] Module over finite groups, Ann of Maths, vol. 69 (1959), 700-713. | MR | Zbl
,[24] Corps locaux, 2e édition, Hermann, Paris (1968).
,[25] Représentation linéaire des groupes finis, 2e édition, Hermann, (1971). | Zbl
,[26] Modules projectifs et espaces fibrés à fibre vectorielle, Séminaire Dubreuil (1957-1958), p. 1-17. | Numdam | Zbl
,[27] Galois module structure of the ring of integers of l-extensions, Thesis of P.H.D., London (1977).
,[28] The exponent of class group, J. of Algebra, vol. 29 (1974), 124-132. | MR | Zbl
,[29] On the group algebras of metabelian groups over algebraic number fields I, Osaka J. Math., vol. 6 (1969), 211-228. | MR | Zbl
,[30] On the group algebras of metabelian groups over algebraic number fields II, J. Fac. Sci. Univ. Tokio, 16 (1969), 83-90. | MR | Zbl
,[31] On the group algebras of metacyclic groups over algebraic number fields, J. Fac. Sci. Univ. Tokio, 15 (1968), 179-199. | MR | Zbl
,[32] Reduced norms in the K-theory of orders, Proc. London Math. Soc.. | Zbl
,[33] Crossed products and hereditary orders, Nagoya Math., J., 23 (1963), 103-120. | MR | Zbl
,[34] Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience, New-York (1962). | MR | Zbl
, ,Cité par Sources :