Troisième théorème fondamental de réalisation de Cartan
Annales de l'Institut Fourier, Volume 25 (1975) no. 1, p. 251-280
In a same way as in the theory of Lie groups, one can associate to any Infinitesimal Lie Pseudogroup θ over R n a Lie algebra L(θ), which is a closed sub-Lie algebra of the algebra D of all formal vector fields on R n , the algebra D possessing the topology defined by the natural filtration of the algebra of formal power series. The third theorem of Cartan states that inversely given any closed and transitive Lie sub-algebra L of D, there is an Infinitesimal Lie Pseudogroup θ over R n s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to L. In this work we reformulate the main arguments of Cartan proving this theorem in the actual development state of the theory of Lie Pseudogroups. We prove also the following result: let θ be an analytic and transitive infinitesimal Pseudogroup over R n . Then for any closed Lie sub-algebra H of L(θ), whose normalisator in L(θ) is a filtred transitive algebra, there is an infinitesimal Lie sub-pseudogroup θ 0 of θ s.t. its associated Lie algebra is isomorphic to H.
De même qu’avec les groupes de Lie, à tout pseudo-groupe infinitésimal de Lie θ sur R n il est associé de façon naturelle une algèbre de Lie L(θ), qui est une sous-algèbre de Lie fermée de l’algèbre de Lie D de tous les champs de vecteurs formels de R n , l’algèbre D étant munie de la topologie définie par la filtration naturelle de l’algèbre des séries formelles. Le troisième théorème fondamental de Cartan dit qu’inversement étant donnée une sous-algèbre de Lie transitive fermée L de l’algèbre D, il existe un pseudo-groupe infinitésimal de Lie θ sur R n tel que son algèbre de Lie associée soit isomorphe à L. On précise dans ce travail les principaux arguments de Cartan, utilisés pour la démonstration de ce théorème, dans le cadre actuel du développement de la théorie des pseudo-groupes de Lie. On y démontre aussi les théorèmes dits de réalisation relative et homogène dont le résultat peut se résumer ainsi : si θ est un pseudo-groupe de Lie analytique et transitif sur R n , alors pour toute sous-algèbre fermée H de L(θ) telle que son normalisateur dans L(θ) soit une algèbre de Lie filtrée transitive, il existe un sous-pseudo-groupe infinitésimal θ 0 de θ, ayant son algèbre de Lie associée isomorphe à H.
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Troisième théorème fondamental de réalisation de Cartan. Annales de l'Institut Fourier, Volume 25 (1975) no. 1, pp. 251-280. doi : 10.5802/aif.551. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1975__25_1_251_0/

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