no. 4
L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait
Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 4, pp. 19-65.

Soit K un corps complet pour une valuation discrète, de corps résiduel k. Lorsque k est fini, la structure de K 2 (K) a été déterminée par C.C. Moore, J.E. Carroll et A.S. Merkurjev. On généralise ici leurs résultats au cas où k est parfait de caractéristique positive p. Les résultats principaux sont : p n K 2 (K) est p-divisible pour n assez grand (explicite); le groupe K 2 top (K) de Milnor est discret, explicitement déterminé ; K 2 (K) n’a pas de torsion première à p, et sa p-torsion est explicitement déterminée. On obtient également des résultats sur les groupes de Milnor K m (K); en particulier, lorsque m≥3, ce groupe est p-divisible sans p-torsion.

Let K be a complete discrete valuation field with residue field k. When k is perfect, the structure of K 2 (K) has been determined by C.C. Moore, J.E. Carroll and A.S. Merkurjev. Their results are here generalized to the case when k is perfect with positive characteristic p. Main results are: p n K 2 (K) is p-divisible for large enough (explicit) n; Milnor’s group K 2 top (K) is discrete, explicitly determined; K 2 (K) has no prime to p torsion, and its p-torsion is explicitly determined; Results on Milnor’s K-groups K m (K) are obtained as well: in particular, when m≥3, this group is p-divisible and has no p-torsion.

@article{AIF_1984__34_4_19_0,
     author = {Kahn, Bruno},
     title = {L'anneau de {Milnor} d'un corps local \`a corps r\'esiduel parfait},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {19--65},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {34},
     number = {4},
     year = {1984},
     doi = {10.5802/aif.987},
     zbl = {0522.12015},
     mrnumber = {86f:11093},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.987/}
}
TY  - JOUR
AU  - Kahn, Bruno
TI  - L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1984
SP  - 19
EP  - 65
VL  - 34
IS  - 4
PB  - Imprimerie Durand
PP  - 28 - Luisant
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.987/
DO  - 10.5802/aif.987
LA  - fr
ID  - AIF_1984__34_4_19_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Kahn, Bruno
%T L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1984
%P 19-65
%V 34
%N 4
%I Imprimerie Durand
%C 28 - Luisant
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.987/
%R 10.5802/aif.987
%G fr
%F AIF_1984__34_4_19_0
Kahn, Bruno. L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait. Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 4, pp. 19-65. doi : 10.5802/aif.987. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.987/

[0] Algebraic K-theory, II, Lect Notes in Math., 342 (1973). | Zbl

[1] H. Bass, J. Tate, The Milnor ring of a global field, in Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 349-428. | MR | Zbl

[2] J. E. Carroll, On the torsion in K2 of local fields, in Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 464-473. | MR | Zbl

[3] K. Dennis, M. Stein, K2 of discrete valuation rings, Adv. in Math., 18, n° 2 (1975), 182-238. | Zbl

[4] B. Kahn, Thèse de 3e cycle, Université de Bordeaux I, 1983.

[5] K. Kato, A generalization of class field theory by using K-groups, I : Journ. Fac. Sci. Tokyo, 26 (1979), 303-376, II ; ibid. 27 (1980), 603-683. | Zbl

[6] S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1965. | MR | Zbl

[7] J. Milnor, Introduction to algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, 72, Princeton, 1971. | MR | Zbl

[8] J. Milnor, Algebraic K-theory and quadratic forms, Inv. Math., 9 (1969-1970), 318-344. | MR | Zbl

[9] C. Moore, Group extensions of p-adic and adelic linear groups, Publ. Math. I.H.E.S., 35 (1969). | Numdam | Zbl

[10] A. Parsin, Abelian coverings of arithmetic schemes, Soviet. Math. Dokl., vol. 19, n° 6 (1978), 1438-1442. | MR | Zbl

[11] I. R. Šafarevič, A general reciprocity law, Amer. Math. Soc. Transl., 4 (1956), 73-105. | Zbl

[12] J.-P. Serre, Corps locaux, 2e éd., Hermann, Paris, 1968.

[13] J.-P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lect. Notes in Math., 5 (1964). | Zbl

[14] C. Soulé, K2 et le groupe de Brauer, Séminaire Bourbaki (1982), n° 601. | Numdam | Zbl

[15] A. Suslin, Torsion in K2 of fields, prépublication, Léningrad, 1982. | Zbl

[16] R. Switzer, Algebraic topology-Homotopy and homology, Springer, 1975. | MR | Zbl

[17] J. Tate, Relations between K2 and Galois cohomology, Inv. Math., 36 (1976), 257-274. | MR | Zbl

[18] A. Merkurjev and A. Suslin, K-cohomology of Severi-Brauer varieties and norm residue homomorphism, Math. USSR, Izvestija, 21 (1983), (trad. anglaise). | Zbl

[19] A. Merkurjev, On the torsion in K2 of local fields, Ann. of Math., 118 (1983), 375-381. | MR | Zbl

[20] J. Graham, Continuous symbols on fields of formal power series, Algebraic K-theory, II, Lect. Notes in Math., 342 (1973), 474-486. | MR | Zbl

[21] K. Kato, Milnor's K-theory and the Chow group of zero cycles, prépublication. | Zbl

[22] J. Tate, On the torsion in K2 of fields, in Algebraic Number Theory Conference, Kyoto Intern. Symposium 1976, 243-261, Japan Soc. Prom. Sci., 1977. | Zbl

[23] A. Weil, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, 2e édition, Hermann, Paris, 1965.

Cité par Sources :