Comportement à l'infini des solutions des équations de Navier-Stokes et propriété des ensembles fonctionnels invariants (ou attracteurs)

Guillopé, Colette

doi:10.5802/aif.879

Guillopé, Colette

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 3, pp. 1-37.

Résumé
Abstract

Les données, i.e. l’ouvert $Ω$ et la force appliquée $f$ , sont supposées de classe $𝒞$ . Il est montré que toute solution des équations de Navier-Stokes dans l’ouvert $Ω$ , bornée dans $H^{1} (Ω)^{N}$ ( $N = 2$ ou $3$ ) sur un intervalle de temps semi-infini $(t_{0} + \infty)$ , est aussi bornée, pour $t \to + \infty$ , dans tous les espaces $H^{m} (Ω)^{N}$ . Il en résulte que tout ensemble fonctionnel invariant ou attracteur borné dans $H^{1} (Ω) (N$ (ou même $H^{1 / 2 + ε} (Ω)^{N}$ , $ε > 0$ ) est porté par $𝒞^{\infty} (\bar{Ω})$ . Le cas où les forces appliquées dérivent d’un potentiel (i.e. $f = 0$ ) est abordé : il est montré que toute solution (ainsi que toutes ses dérivées par rapport au temps) converge dans ce cas vers 0 de façon exponentielle dans tous les espaces $H^{m} (Ω)^{N}$ , quand $t \to + \infty$ .

The date, i.e. the domain $Ω$ and the driving forces $f$ , are $𝒞^{\infty}$ . In this paper it is shown that every solution of the time-dependent Navier-Stokes equations which is bounded in $H^{1} (Ω)^{N}$ ( $N = 2$ or $3$ ) on a semi-infinite time interval $(t_{0} + \infty)$ , is also bounded, as $t \to + \infty$ , in all spaces $H^{m} (Ω)^{N}$ . It follows that every functional invariant set (or attractor) bounded in $H^{1} (Ω)^{N}$ (or even $H^{1 / 2 + ε} (Ω)^{N}$ , $ε > 0$ ) is contained in $𝒞^{\infty} (\bar{Ω})$ . Moreover if the driving forces are potential (i.e. $f = 0$ ) then every related solution and its time-derivatives converge exponentially to $0$ in all spaces $H^{m} (Ω)^{N}$ , as $t$ goes to $+ \infty$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.879

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Guillopé, Colette. Comportement à l'infini des solutions des équations de Navier-Stokes et propriété des ensembles fonctionnels invariants (ou attracteurs). Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 3, pp. 1-37. doi : 10.5802/aif.879. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.879/

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