no. 4
Zeros of random functions in Bergman spaces
Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 4, pp. 159-171.

Soit μ une mesure positive invariante par rotation sur le disque unité ouvert Δ, telle que le support de μ contienne le cercle unité. Pour 0<p<∞ l’ensemble des fonctions de L p (μ) qui sont holomorphes sur Δ s’appelle l’espace de Bergman A μ p . Nous montrons que, lorsque la série de puissances f(z)=Σζ n a n z n à coefficients gaussiens indépendants est presque sûrement dans A μ p ∖⋃ q>p A μ p , alors il est presque sûr que : a) Z(f), ensemble des zéros de f, n’est contenu dans aucun ensemble ZA μ q (c’est-à-dire Z(g), g∈A μ q ∖{0}, q>p), et b) Z(f+1)∪Z(f-1) n’est contenu dans aucun ZA μ q .

Suppose μ is a finite positive rotation invariant Borel measure on the open unit disc Δ, and that the unit circle lies in the closed support of μ. For 0<p<∞ the Bergman space A μ p is the collection of functions in L p (μ) holomorphic on Δ. We show that whenever a Gaussian power series f(z)=Σζ n a n z n almost surely lies in A μ p but not in ⋃ q>p A μ p , then almost surely: a) the zero set Z(f) of f is not contained in any A μ q zero set (q>p, and b) Z(f+1)∪Z(f-1) is not contained in any A μ q zero set.

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