no. 1
The pentagram map on Grassmannians
[La carte pentagramme sur les Grassmanniens]
Felipe, Raúl1 ; Marí Beffa, Gloria2
1 CIMAT Callejón Jalisco s/n, Valenciana 36023 Guanajuato (Mexico)
2 University of Wisconsin - Mathematics Department 480 Lincoln Dr Madison, WI 53706 (USA)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 1, pp. 421-456.

Dans cet article nous définissons une généralisation de la carte pentagramme à une carte sur des polygones tordus dans l’espace Grassmannien Gr(n,nm). Nous définissons les invariants des polygones tordus Grassmanniens sous l’action naturelle de SL(nm), invariants qui définissent les coordonnées dans l’espace des modules des polygones torsadés. Nous prouvons ensuite que lorsqu’il est écrit en termes de coordonnées d’espace de modules, la carte de pentagramme est préservée par une certaine mise à l’échelle. La mise à l’échelle est ensuite utilisée pour construire une représentation Lax pour la carte qui peut être utilisée pour l’intégration.

In this paper we define a generalization of the pentagram map to a map on twisted polygons in the Grassmannian space Gr(n,mn). We define invariants of Grassmannian twisted polygons under the natural action of SL(nm), invariants that define coordinates in the moduli space of twisted polygons. We then prove that when written in terms of the moduli space coordinates, the pentagram map is preserved by a certain scaling. The scaling is then used to construct a Lax representation for the map that can be used for integration.

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DOI : 10.5802/aif.3248
Classification : 37J35, 37D40, 37K10, 37K35
Keywords: Pentagram map, Discrete integrable systems, Grassmannians, integrable maps
Mots-clés : carte pentagramme, Systèmes intégrables discrets, Grassmanniens, cartes intégrables

Felipe, Raúl 1 ; Marí Beffa, Gloria 2

1 CIMAT Callejón Jalisco s/n, Valenciana 36023 Guanajuato (Mexico)
2 University of Wisconsin - Mathematics Department 480 Lincoln Dr Madison, WI 53706 (USA)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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TY  - JOUR
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TI  - The pentagram map on Grassmannians
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2019
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Felipe, Raúl; Marí Beffa, Gloria. The pentagram map on Grassmannians. Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 1, pp. 421-456. doi : 10.5802/aif.3248. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3248/

[1] Khesin, Boris; Soloviev, Fedor Integrability of higher pentagram maps, Math. Ann., Volume 357 (2013) no. 3, pp. 1005-1047 | MR | Zbl

[2] Khesin, Boris; Soloviev, Fedor The geometry of dented pentagram maps, J. Eur. Math. Soc., Volume 18 (2016) no. 1, pp. 147-179 | DOI | MR | Zbl

[3] Mansfield, Elizabeth; Marí Beffa, Gloria; Wang, Jing Ping Discrete moving frames and integrable systems, Found. Comput. Math., Volume 13 (2013) no. 4, pp. 545-582 | DOI | MR | Zbl

[4] Marí Beffa, Gloria On generalizations of the pentagram map: discretizations of AGD flows, J. Nonlinear Sci., Volume 23 (2013) no. 2, pp. 303-334 | MR | Zbl

[5] Marí Beffa, Gloria On Integrable Generalizations of the Pentagram Map, Int. Math. Res. Not., Volume 2015 (2015) no. 12, pp. 3669-3693 | MR | Zbl

[6] Marí Beffa, Gloria On the integrability of the shift map on twisted pentagram spirals, J. Phys. A, Math. Theor., Volume 48 (2015) no. 28, 285202, 25 pages (Art. ID 285202, 25 p.) | MR | Zbl

[7] Ovsienko, Valentin; Schwartz, Richard Evan; Tabachnikov, Serge The Pentagram map: A discrete integrable system, Commun. Math. Phys., Volume 299 (2010) no. 2, pp. 409-446 | DOI | MR | Zbl

[8] Ovsienko, Valentin; Schwartz, Richard Evan; Tabachnikov, Serge Liouville–Arnold integrability of the pentagram map on closed polygons, Duke Math. J., Volume 162 (2012) no. 12, pp. 2149-2196 | DOI | MR | Zbl

[9] Schwartz, Richard Evan The Pentagram Map, Exp. Math., Volume 1 (1992) no. 1, pp. 85-90 | MR | Zbl

[10] Schwartz, Richard Evan The Projective Heat Map Acting on Pentagons, Research monograph, Volume 1 (2014), pp. 85-90

[11] Soloviev, Fedor Integrability of the Pentagram Map, Duke Math. J., Volume 162 (2013) no. 15, pp. 2815-2853 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :