no. 2
Sur la géométrie de la singularité initiale des espaces-temps plats globalement hyperboliques
Belraouti, Mehdi1
1 Université Grenoble I Institut Fourier, UMR–CNRS 5582 100, rue des Maths BP 74 38402 St Martin d’Hères (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 2, pp. 457-466.

On étudie le comportement asymptotique des niveaux d’une fonction temps quasi-concave, définie sur un espace-temps globalement hyperbolique maximal plat de dimension trois, admettant une hypersurface de Cauchy de genre ≥2. On donne une réponse positive à une conjecture posée par Benedetti et Guadagnini dans [7]. Plus précisément, on montre que les niveaux d’une telle fonction temps convergent au sens de la topologie de Hausdorff-Gromov équivariante vers un arbre réel. On montre de plus que la limite est indépendante de la fonction temps choisie.

Let M be a maximal globally hyperbolic Cauchy compact flat spacetime of dimension 2+1, admitting a Cauchy hypersurface diffeomorphic to a compact hyperbolic manifold. We study the asymptotic behaviour of level sets of quasi-concave time functions on M. We give a positive answer to a conjecture of Benedetti and Guadagnini in [7]. More precisely, we prove that the level sets of such a time function converge in the Hausdorff-Gromov equivariant topology to a real tree. Moreover, this limit does not depend on the choice of the time function.

DOI : 10.5802/aif.2854
Classification : 53B30
Mot clés : géométrie lorentzienne, espaces temps à courbure constante, fonction temps quasi-concave, topologie de Gromov équivariante
Keywords: Lorentzian geometry, flat space-time, quasi-concave time function, Gromov equivariant topology

Belraouti, Mehdi 1

1 Université Grenoble I Institut Fourier, UMR–CNRS 5582 100, rue des Maths BP 74 38402 St Martin d’Hères (France) 
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Belraouti, Mehdi. Sur la géométrie de la singularité initiale des espaces-temps plats globalement hyperboliques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 2, pp. 457-466. doi : 10.5802/aif.2854. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2854/

[1] Andersson, L. Constant mean curvature foliations of simplicial flat spacetimes, Comm. Anal. Geom., Volume 13 (2005) no. 5, pp. 963-979 http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.cag/1144438303 | DOI | MR | Zbl

[2] Andersson, L.; Barbot, T.; Béguin, F.; Zeghib, A. Cosmological time versus CMC time in spacetimes of constant curvature (à paraître à Asian Journal of Mathematics)

[3] Andersson, L.; Galloway, G. J.; Howard, R. The cosmological time function, Classical Quantum Gravity, Volume 15 (1998) no. 2, pp. 309-322 | DOI | MR | Zbl

[4] Barbot, T. Globally hyperbolic flat space-times, J. Geom. Phys., Volume 53 (2005) no. 2, pp. 123-165 | DOI | MR | Zbl

[5] Barbot, T.; Béguin, F.; Zeghib, A. Prescribing Gauss curvature of surfaces in 3-dimensional spacetimes, Application to the Minkowski problem in the Minkowski space, Ann. Inst. Fourier, Volume 61 (2011) no. 2, pp. 511-591 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[6] Benedetti, R.; Bonsante, F. Canonical Wick rotations in 3-dimensional gravity, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 198 (2009) no. 926, pp. viii+164 | MR | Zbl

[7] Benedetti, R.; Guadagnini, E. Cosmological time in (2+1)-gravity, Nuclear Phys. B, Volume 613 (2001) no. 1-2, pp. 330-352 | DOI | MR | Zbl

[8] Bonsante, F. Deforming the Minkowskian cone of a closed hyperbolic manifold, Pisa (2005) (Ph. D. Thesis)

[9] Bonsante, F. Flat spacetimes with compact hyperbolic Cauchy surfaces, J. Differential Geom., Volume 69 (2005) no. 3, pp. 441-521 http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1122493997 | MR | Zbl

[10] Levitt, G.; Paulin, F. Geometric group actions on trees, Amer. J. Math., Volume 119 (1997) no. 1, pp. 83-102 http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v119/119.1levitt.pdf | DOI | MR | Zbl

[11] Mess, G. Lorentz spacetimes of constant curvature, Geom. Dedicata, Volume 126 (2007), pp. 3-45 | DOI | MR | Zbl

[12] Morgan, J.W.; Shalen, P.B. Valuations, trees, and degenerations of hyperbolic structures. I, Ann. of Math. (2), Volume 120 (1984) no. 3, pp. 401-476 | DOI | MR | Zbl

[13] Paulin, F. Topologie de Gromov équivariante, structures hyperboliques et arbres réels, Invent. Math., Volume 94 (1988) no. 1, pp. 53-80 | DOI | MR | Zbl

[14] Paulin, F. The Gromov topology on R-trees, Topology Appl., Volume 32 (1989) no. 3, pp. 197-221 | DOI | MR | Zbl

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