Realizable Galois module classes over the group ring for non abelian extensions

Byott, Nigel P.; Sodaïgui, Bouchaïb

doi:10.5802/aif.2762

Realizable Galois module classes over the group ring for non abelian extensions
[Classes galoisiennes réalisables sur l’anneau de groupe d’extensions non abéliennes]

Byott, Nigel P.¹ ; Sodaïgui, Bouchaïb ²

¹ College of Engineering, Mathematics and Physical Sciences, University of Exeter, Exeter, EX4 4QF, UK
² Département de Mathématiques, Université de Valenciennes, Le Mont Houy, 59313 Valenciennes Cedex 9, France

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 1, pp. 303-371.

Résumé
Abstract

Étant donné un corps de nombres $k$ et un groupe fini $Γ$ , on note $ℛ (O_{k} [Γ])$ le sous-ensemble du groupe de classes localement libre $Cl (O_{k} [Γ])$ formé par les classes d’anneaux d’entiers $O_{N}$ d’extensions galoisiennes modérées $N / k$ avec $Gal (N / k) ≅ Γ$ . Nous déterminons $ℛ (O_{k} [Γ])$ , et montrons que c’est un sous-groupe de $Cl (O_{k} [Γ])$ , au moyen d’une description utilisant un idéal de Stickelberger et des propriétés de certains codes cycliques, lorsque $k$ contient une racine de l’unité d’ordre premier $p$ et $Γ = V ⋊ C$ , où $V$ est un groupe élémentaire abélien d’ordre $p^{r}$ et $C$ est un groupe cyclique d’ordre $m > 1$ agissant fidèlement sur $V$ et rendant $V$ un $𝔽_{p} [C]$ -module irréductible. Ceci généralise et raffine des résultats de Byott, Greither et Sodaïgui pour $p = 2$ dans Crelle, respectivement de Bruche et Sodaïgui pour $p > 2$ dans J. Number Theory, lesquels couvrent seulement le cas $m = p^{r} - 1$ et déterminent seulement l’image $ℛ (ℳ)$ de $ℛ (O_{k} [Γ])$ sous l’extension des scalaires de $O_{k} [Γ]$ à un ordre maximal $ℳ \supset O_{k} [Γ]$ dans $k [Γ]$ . Le résultat principal ici généralise donc le calcul de $ℛ (O_{k} [A_{4}])$ pour le groupe alterné $A_{4}$ de degré 4 (le cas $p = r = 2$ ) donné par Byott et Sodaïgui dans Compositio.

Given an algebraic number field $k$ and a finite group $Γ$ , we write $ℛ (O_{k} [Γ])$ for the subset of the locally free classgroup $Cl (O_{k} [Γ])$ consisting of the classes of rings of integers $O_{N}$ in tame Galois extensions $N / k$ with $Gal (N / k) ≅ Γ$ . We determine $ℛ (O_{k} [Γ])$ , and show it is a subgroup of $Cl (O_{k} [Γ])$ by means of a description using a Stickelberger ideal and properties of some cyclic codes, when $k$ contains a root of unity of prime order $p$ and $Γ = V ⋊ C$ , where $V$ is an elementary abelian group of order $p^{r}$ and $C$ is a cyclic group of order $m > 1$ acting faithfully on $V$ and making $V$ into an irreducible $𝔽_{p} [C]$ -module. This extends and refines results of Byott, Greither and Sodaïgui for $p = 2$ in Crelle, respectively of Bruche and Sodaïgui for $p > 2$ in J. Number Theory, which cover only the case $m = p^{r} - 1$ and determine only the image $ℛ (ℳ)$ of $ℛ (O_{k} [Γ])$ under extension of scalars from $O_{k} [Γ]$ to a maximal order $ℳ \supset O_{k} [Γ]$ in $k [Γ]$ . The main result here thus generalizes the calculation of $ℛ (O_{k} [A_{4}])$ for the alternating group $A_{4}$ of degree 4 (the case $p = r = 2$ ) given by Byott and Sodaïgui in Compositio.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2762

Classification : 11R33
Keywords: Galois module structure; Rings of algebraic integers; Locally free classgroup; Fröhlich-Lagrange resolvent; Realizable classes; Embedding problem; Stickelberger ideal; Cyclic codes.
Mot clés : Structure de module galoisien ; anneaux d’entiers algébriques ; groupe de classes localement libre ; résolvantes de Fröhlich-Lagrange ; classes réalisables ; problème de plongement ; idéal de Stickelberger ; codes cycliques.

Affiliations des auteurs :

Byott, Nigel P. ¹ ; Sodaïgui, Bouchaïb ²

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Byott, Nigel P.; Sodaïgui, Bouchaïb. Realizable Galois module classes over the group ring for non abelian extensions. Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 1, pp. 303-371. doi : 10.5802/aif.2762. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2762/

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