[Différentes méthodes pour l’étude des obstructions dans les schémas de Jacobi]
Le problème des obstructions aux déformations d’algèbres de Lie est étudié de quatre points de vue différents. On illustrera d’abord la méthode de l’anneau local, une alternative à la méthode de Gerstenhaber. On compare les deux méthodes en montrant qu’une classe d’obstruction correspond à un paramètre local nilpotent d’une déformation verselle de la loi dans le schéma de Jacobi. Un procédé d’élimination dans l’anneau global permet ensuite d’obtenir des éléments nilpotents, constituant ainsi une méthode globale. Enfin, le problème des obstructions est traité dans la géométrie définie par générateurs et relations. Des sous-schémas de grassmanniennes constitués d’idéaux -invariants d’une algèbre de Lie libre ( étant un tore bien choisi), après quotient par une action de groupe, sont égaux à ceux définis par les polynômes de Jacobi après passage à un quotient similaire.
In this paper the problem of obstructions in Lie algebra deformations is studied from four different points of view. First, we illustrate the method of local ring, an alternative to Gerstenhaber’s method for Lie deformations. We draw parallels between both methods showing that an obstruction class corresponds to a nilpotent local parameter of a versal deformation of the law in the scheme of Jacobi. Then, an elimination process in the global ring, which defines the scheme, allows us to obtain nilpotent elements and to describe the global method. Finally, the obstruction problem is studied in the geometry defined by generators and relations. Under certain conditions, we prove that subschemes of grassmannians of -invariant ideals of a free Lie algebra ( being a torus of derivations), after quotient by an action group, are the same as those defined from Jacobi polynomials after a similar quotient.
Keywords: Deformation, obstruction, free Lie algebra
Mot clés : déformation, obstruction, algèbre de Lie libre
Carles, Roger 1 ; Márquez, M. Carmen 2
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[1] Sur certaines classes d’algèbres de Lie rigides, Math. Ann., Volume 272 (1985), pp. 477-488 | DOI | MR | Zbl
[2] Un exemple d’algèbres de Lie résolubles rigides, au deuxième groupe de cohomologie non nul et pour lesquelles l’application quadratique de D. S. Rim est injective, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 300 (1985) no. 14, pp. 467-469 | MR | Zbl
[3] Sur la cohomologie d’une nouvelle classe d’algèbres de Lie qui généralisent les sous-algèbres de Borel, J. of Alg., Volume 154 (1993) no. 2, pp. 310-334 | DOI | MR | Zbl
[4] Construction des algèbres de Lie complètes, C. R. Acad. Sc. Paris, Volume 318 (1994), pp. 711-714 | MR | Zbl
[5] Déformations dans les schémas définis par les identités de Jacobi, Ann. Math. Blaise Pascal, Volume 3 (1996) no. 2, pp. 33-62 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[6] Versal deformations and versality in central extensions of Jacobi schemes, Transformation Groups, Volume 14 (2009) no. 2, pp. 287-317 | DOI | MR
[7] Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes, Acta Scientiarum Math., Volume 16 (1955) no. 3-4, pp. 246-250 | MR | Zbl
[8] Système de poids sur une algèbre de Lie nilpotente, Manuscripta Math., Volume 9 (1973), pp. 53-90 | DOI | MR | Zbl
[9] Deformations of Lie algebras, Math. USSR Sbornik, Volume 127(169) (1985), pp. 476-482 English translation: Math. USSR Sb. 55 (1986), no. 2, p. 467-473 | MR | Zbl
[10] An example of formal deformations of Lie algebras, NATO Conference on Deformation Theory of Algebras and Applications, Il Ciocco, Italy, 1986, Proceedings (1988), pp. 375-401 | MR | Zbl
[11] Construction of miniversal deformations of Lie algebras, J. Funct. Analysis, Volume 161 (1999), pp. 76-110 | DOI | MR | Zbl
[12] On the deformations of rings and algebras, Ann. of Math., Volume 79 (1964), pp. 59-103 | DOI | MR | Zbl
[13] Cohomology and deformations in graded Lie algebras, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 72 (1966), pp. 1-29 | DOI | MR | Zbl
[14] Remarque sur les constantes de structure des -algèbres de Lie de dimension finie, C. R. Acad. Sc. Paris, Volume 266 (1968), pp. 330-332 | MR | Zbl
[15] On the rigidity of semi-direct products of Lie algebras, Pac. J. Math., Volume 22 (1967), pp. 339-344 | MR | Zbl
Cité par Sources :
