Intersection de courbes et de sous-groupes et problèmes de minoration de hauteur dans les variétés abéliennes C.M.

Ratazzi, Nicolas

doi:10.5802/aif.2393

Intersection de courbes et de sous-groupes et problèmes de minoration de hauteur dans les variétés abéliennes C.M.

Ratazzi, Nicolas ¹

¹ Université Paris-Sud 11 Bâtiment 425 Mathématiques 91405 Orsay Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 5, pp. 1575-1633.

Résumé
Abstract

Nous prouvons un cas particulier de la conjecture suivante e Zilber-Pink, conjecture généralisant celle de Manin-Mumford : soit $X$ une courbe incluse dans une variété abélienne $A$ sur $\bar{ℚ}$ , qui n’est pas incluse dans une sous-variété de torsion ; l’intersection de $X$ avec la réunion de tous les sous-groupes de codimension au moins 2 est finie. Nous démontrons ici le cas où $A$ est une puissance d’une variété abélienne C.M. simple. La preuve reprend la stratégie de Rémond (suivant Bombieri-Masser-Zannier) avec deux ingrédients supplémentaires ; l’un des deux constituant le coeur de cet article : une minoration de la hauteur de Néron-Tate des points sur les variétés abéliennes C.M., dans l’esprit du problème de Lehmer. Cette minoration est l’analogue du résultat similaire de Amoroso-David pour $𝔾_{m}^{n}$ , et est une généralisation du théorème de David-Hindry sur le problème de Lehmer abélien.

We prove a special case of the following conjecture of Zilber-Pink generalising the Manin-Mumford conjecture : let $X$ be a curve inside an Abelian variety $A$ over $\bar{ℚ}$ , provided $X$ is not contained in a torsion subvariety, the intersection of $X$ with the union of all subgroup schemes of codimension at least $2$ is finite; we settle the case where $A$ is a power of a simple CM Abelian variety. The proof is based on the strategy of Rémond (following Bombieri-Masser-Zannier) with two new ingredients, one of them, being at the heart of this article : a lower bound for the Néron-Tate height of points on CM Abelian varieties in the spirit of Lehmer’s problem. This lower bound is an analog of the similar result of Amoroso-David on $𝔾_{m}^{n}$ and is a generalisation of the theorem of David-Hindry on the abelian Lehmer’s problem.

EuDML MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2393

Classification : 11G50, 11G10, 11J95, 14K22, 11R20
Mot clés : hauteur normalisée, problème de Lehmer, conjecture de Manin-Mumford, variétés abéliennes, approximation diophantienne
Keywords: Normalised height, Lehmer problem, Manin-Mumford conjecture, Abelian varieties, diophantine approximation

Affiliations des auteurs :

Ratazzi, Nicolas ¹

¹ Université Paris-Sud 11 Bâtiment 425 Mathématiques 91405 Orsay Cedex (France)

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Ratazzi, Nicolas. Intersection de courbes et de sous-groupes et problèmes de minoration de hauteur dans les variétés abéliennes C.M.. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 5, pp. 1575-1633. doi : 10.5802/aif.2393. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2393/

Bibliographie
Cité par

[1] Amoroso, Francesco; David, Sinnou Le problème de Lehmer en dimension supérieure, J. Reine Angew. Math., Volume 513 (1999), pp. 145-179 | DOI | MR | Zbl

[2] Amoroso, Francesco; David, Sinnou Distribution des points de petite hauteur dans les groupes multiplicatifs, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), Volume 3 (2004) no. 2, pp. 325-348 | Numdam | MR | Zbl

[3] Amoroso, Francesco; Zannier, Umberto A relative Dobrowolski lower bound over abelian extensions, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume 29 (2000) no. 3, pp. 711-727 | Numdam | MR | Zbl

[4] Baker, Matthew H.; Silverman, Joseph H. A lower bound for the canonical height on abelian varieties over abelian extensions, Math. Res. Lett., Volume 11 (2004) no. 2-3, pp. 377-396 | MR | Zbl

[5] Bertrand, Daniel Minimal heights and polarizations on abelian varieties (1987) (Preprint of the MSRI, Berkeley, California, June)

[6] Birkenhake, Christina; Lange, Herbert Complex abelian varieties, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 302, Springer-Verlag, Berlin, 2004 | MR | Zbl

[7] Bombieri, E.; Masser, D.; Zannier, U. Intersecting a curve with algebraic subgroups of multiplicative groups, Internat. Math. Res. Notices (1999) no. 20, pp. 1119-1140 | DOI | MR | Zbl

[8] Bombieri, E.; Vaaler, J. On Siegel’s lemma, Invent. Math., Volume 73 (1983) no. 1, pp. 11-32 | DOI | Zbl

[9] Bombieri, E.; Zannier, U. Heights of algebraic points on subvarieties of abelian varieties, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume 23 (1996) no. 4, p. 779-792 (1997) | Numdam | MR | Zbl

[10] David, Sinnou; Hindry, Marc Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes de type C. M, J. Reine Angew. Math., Volume 529 (2000), pp. 1-74 | DOI | MR | Zbl

[11] David, Sinnou; Philippon, Patrice Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abeliennes. II, Comment. Math. Helv., Volume 77 (2002) no. 4, pp. 639-700 | DOI | MR | Zbl

[12] Debarre, Olivier Higher-dimensional algebraic geometry, Universitext, Springer-Verlag, New York, 2001 | MR | Zbl

[13] Dobrowolski, E. On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial, Acta Arith., Volume 34 (1979) no. 4, pp. 391-401 | MR | Zbl

[14] Hindry, Marc Autour d’une conjecture de Serge Lang, Invent. Math., Volume 94 (1988) no. 3, pp. 575-603 | DOI | Zbl

[15] Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry, Graduate Texts in Mathematics, 201, Springer-Verlag, New York, 2000 (An introduction) | MR | Zbl

[16] Laurent, Michel Minoration de la hauteur de Néron-Tate, Seminar on number theory, Paris 1981–82 (Paris, 1981/1982) (Progr. Math.), Volume 38, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983, pp. 137-151 | MR | Zbl

[17] Masser, D. W. (Lettre à Daniel Bertrand du 10 novembre 1986)

[18] Masser, D. W. Small values of the quadratic part of the Néron-Tate height on an abelian variety, Compositio Math., Volume 53 (1984) no. 2, pp. 153-170 | Numdam | MR | Zbl

[19] Mumford, David Abelian varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5, Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1970 | MR | Zbl

[20] Philippon, Patrice Sur des hauteurs alternatives. III, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 74 (1995) no. 4, pp. 345-365 | MR | Zbl

[21] Pink, R. A common generalization of the conjectures of André-Oort, Manin-Mumford, and Mordell-Lang (Prépublication de 2005 disponible à l’adresse http://www.math.ethz.ch/~pink/ftp/AOMMML.pdf)

[22] Ratazzi, Nicolas Borne sur la torsion dans les variétés abéliennes de type C.M À paraître (2008) aux Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure

[23] Ratazzi, Nicolas Densité de points et minoration de hauteur, J. Number Theory, Volume 106 (2004) no. 1, pp. 112-127 | DOI | MR | Zbl

[24] Ratazzi, Nicolas Théorème de Dobrowolski-Laurent pour les extensions abéliennes sur une courbe elliptique à multiplication complexe, Int. Math. Res. Not. (2004) no. 58, pp. 3121-3152 | DOI | MR | Zbl

[25] Rémond, Gaël Intersection de sous-groupes et de sous-variétés. I, Math. Ann., Volume 333 (2005) no. 3, pp. 525-548 | DOI | MR | Zbl

[26] Rémond, Gaël Intersection de sous-groupes et de sous-variétés. II, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 6 (2007) no. 2, pp. 317-348 | DOI | MR

[27] Rémond, Gaël; Viada, Evelina Problème de Mordell-Lang modulo certaines sous-variétés abéliennes, Int. Math. Res. Not. (2003) no. 35, pp. 1915-1931 | DOI | MR | Zbl

[28] Schmidt, Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467, Springer-Verlag, Berlin, 1991 | MR | Zbl

[29] Serre, Jean-Pierre Corps locaux, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Nancago, VIII, Actualités Sci. Indust., No. 1296. Hermann, Paris, 1962 | Zbl

[30] Serre, Jean-Pierre; Tate, John Good reduction of abelian varieties, Ann. of Math. (2), Volume 88 (1968), pp. 492-517 | DOI | MR | Zbl

[31] Shimura, Goro; Taniyama, Yutaka Complex multiplication of abelian varieties and its applications to number theory, Publications of the Mathematical Society of Japan, 6, The Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1961 | MR | Zbl

[32] Silverberg, Alice Torsion points on abelian varieties of CM-type, Compositio Math., Volume 68 (1988) no. 3, pp. 241-249 | Numdam | MR | Zbl

[33] Tenenbaum, Gérald Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Cours Spécialisés [Specialized Courses], 1, Société Mathématique de France, Paris, 1995 | MR | Zbl

[34] Viada, Evelina The intersection of a curve with algebraic subgroups in a product of elliptic curves, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), Volume 2 (2003) no. 1, pp. 47-75 | Numdam | MR

[35] Waterhouse, William C. Abelian varieties over finite fields, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 2 (1969), pp. 521-560 | Numdam | MR | Zbl

[36] Zilber, Boris Exponential sums equations and the Schanuel conjecture, J. London Math. Soc. (2), Volume 65 (2002) no. 1, pp. 27-44 | DOI | MR | Zbl

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