no. 4
Eulerian idempotent and Kashiwara-Vergne conjecture
[Idempotent Eulérien et la conjecture de Kashiwara-Vergne]
Burgunder, Emily1
1 Université Montpellier II Institut de Mathématiques et de modélisation de Montpellier UMR CNRS 5149 Place Eugène Bataillon 34095 Montpellier Cedex 5 (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1153-1184.

Grâce à l’interaction entre l’idempotent de Dynkin et l’idempotent eulérien, on construit une solution particulière et symétrique (F(x,y),F(-y,-x)) de la première équation de la conjecture de Kashiwara-Vergne :

x+y-log(eyex)=(1-e- ad x)F(x,y)+(e ad y-1)G(x,y).

Puis on explicite toutes les solutions de cette équation dans l’algèbre de Lie libre générée par les indéterminées x et y grâce au noyau de l’idempotent de Dynkin.

By using the interplay between the Eulerian idempotent and the Dynkin idempotent, we construct explicitly a particular symmetric solution (F,G) of the first equation of the Kashiwara-Vergne conjecture

x+y-log(eyex)=(1-e- ad x)F(x,y)+(e ad y-1)G(x,y).

Then, we explicit all the solutions of the equation in the completion of the free Lie algebra generated by two indeterminates x and y thanks to the kernel of the Dynkin idempotent.

DOI : 10.5802/aif.2381
Classification : 17Bxx, 16W30, 20C30, 22E45
Keywords: Kashiwara-Vergne conjecture, Baker-Campbell-Hausdorff series, Eulerian idempotent, Dynkin idempotent, Hopf algebras
Mot clés : conjecture de Kashiwara-Vergne, série de Baker-Campbell-Hausdorff, idempotent Eulérien, idempotent de Dynkin, algèbre de Hopf

Burgunder, Emily 1

1 Université Montpellier II Institut de Mathématiques et de modélisation de Montpellier UMR CNRS 5149 Place Eugène Bataillon 34095 Montpellier Cedex 5 (France) 
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Burgunder, Emily. Eulerian idempotent and Kashiwara-Vergne conjecture. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1153-1184. doi : 10.5802/aif.2381. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2381/

[1] Alekseev, A.; Meinrenken, E. On the Kashiwara-Vergne conjecture, Invent. Math., Volume 164 (2006), pp. 615-634 | DOI | MR | Zbl

[2] Alekseev, A.; Petracci, E. Uniqueness in the Kashiwara-Vergne conjecture, J. Lie Theory 16, Volume 3 (2006), pp. 531-538 | MR | Zbl

[3] Cohn, P. M. Integral modules, Lie Rings and Free Groups, University of Cambridge (1951) (Ph. D. Thesis)

[4] Kashiwara, M.; Vergne, M. The Campbell-Hausdorff formula and invariant hyperfunctions, Invent. Math., Volume 47 (1978), pp. 249-272 | DOI | MR | Zbl

[5] Kontsevich, M. Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math. Phys., Volume 66 (2003), pp. 157-216 | DOI | MR | Zbl

[6] Loday, J.-L. Série de Hausdorff, idempotents eulériens et algèbres de Hopf, Expo. Math., Volume 12 (1994), pp. 165-178 | MR | Zbl

[7] Patras, F.; Reutenauer, C. On Dynkin and Klyachko idempotents in graded bialgebras, Adv. in Applied Math., Volume 28 (2002), pp. 560-579 | DOI | MR | Zbl

[8] Reutenauer, C. Free Lie Algebras, Oxford University Press, 1993 | MR | Zbl

[9] Rouvière, F. Démonstration de la conjecture de Kashiwara-Vergne pour l’algèbre sl(2), C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 292 (1981), pp. 657-660 | Zbl

[10] Torossian, C. Sur la conjecture combinatoire de Kashiwara-Vergne, J. Lie Theory, Volume 12 (2002), pp. 597-616 | MR | Zbl

[11] Vergne, M. Le centre de l’algèbre enveloppante et la formule de Campbell-Hausdorff, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I Math., Volume 329 (1999), pp. 767-772 | DOI | Zbl

[12] Wigner, D. An identity in the free Lie algebra, Proc. Amer. Math. Soc. (1989), pp. 639-640 | DOI | MR | Zbl

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