no. 4
Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields
[Construction d’espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire associés à des champs de vecteurs sous-riemanniens]
Mustapha, Sami1 ; Vigneron, François2
1 Institut de Mathématiques de Jussieu 175, rue du Chevaleret 75013 Paris (France)
2 Centre de Mathématiques Laurent Schwartz U.M.R. 7640 du C.N.R.S. École Polytechnique 91128 Palaiseau cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1023-1049.

Étant donné une famille de champs de vecteurs 𝒵 vérifiant la condition de Chow-Hörmander de rang 2 et une hypothèse de régularité, on montre que les espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire construits par les procédés standards de l’analyse fonctionnelle admettent une caractérisation géométrique à l’aide de la distance sous-riemannienne induite par la famille 𝒵. L’approche proposée est basée sur une analyse microlocale des opérateurs de translation dans un contexte anisotrope. Elle utilise aussi des estimations classiques du noyau de la chaleur associé à un Laplacien sous-elliptique.

Given a smooth family of vector fields satisfying Chow-Hörmander’s condition of step 2 and a regularity assumption, we prove that the Sobolev spaces of fractional order constructed by the standard functional analysis can actually be “computed” with a simple formula involving the sub-riemannian distance.

Our approach relies on a microlocal analysis of translation operators in an anisotropic context. It also involves classical estimates of the heat-kernel associated to the sub-elliptic Laplacian.

DOI : 10.5802/aif.2285
Classification : 26A33, 35S05, 43A15, 47G30, 53B99, 93A99
Keywords: functional space, Sobolev space, sub-riemannian distance, sub-elliptic Laplacian, Weyl-Hörmander calculus
Mot clés : espace fonctionnel, espace de Sobolev, distance sous-riemannienne, Laplacien sous-elliptic, calcul de Weyl-Hörmander

Mustapha, Sami 1 ; Vigneron, François 2

1 Institut de Mathématiques de Jussieu 175, rue du Chevaleret 75013 Paris (France)
2 Centre de Mathématiques Laurent Schwartz U.M.R. 7640 du C.N.R.S. École Polytechnique 91128 Palaiseau cedex (France) 
@article{AIF_2007__57_4_1023_0,
     author = {Mustapha, Sami and Vigneron, Fran\c{c}ois},
     title = {Construction of {Sobolev} spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1023--1049},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {57},
     number = {4},
     year = {2007},
     doi = {10.5802/aif.2285},
     mrnumber = {2339325},
     zbl = {1143.46021},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2285/}
}
TY  - JOUR
AU  - Mustapha, Sami
AU  - Vigneron, François
TI  - Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2007
SP  - 1023
EP  - 1049
VL  - 57
IS  - 4
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2285/
DO  - 10.5802/aif.2285
LA  - en
ID  - AIF_2007__57_4_1023_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Mustapha, Sami
%A Vigneron, François
%T Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2007
%P 1023-1049
%V 57
%N 4
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2285/
%R 10.5802/aif.2285
%G en
%F AIF_2007__57_4_1023_0
Mustapha, Sami; Vigneron, François. Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1023-1049. doi : 10.5802/aif.2285. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2285/

[1] Bahouri, H.; Chemin, J.-Y.; Xu, C. J. Trace and trace lifting theorems in weight Sobolev spaces, Journal de l’Institut de Mathématiques de Jussieu (2005) no. 4(4), pp. 509-552 | DOI | Zbl

[2] Bellaïche, A. The Tangent Space in Sub-Riemannian Geometry, 144, Birkhäuser, Progress in Maths, 1996 | MR | Zbl

[3] Bony, J.-M. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non-linéaires, Annales de l’École Normale Supérieure (1981) no. 14, pp. 209-246 | Numdam | Zbl

[4] Bony, J.-M.; Chemin, J.-Y. Espaces fonctionnels associés au calcul de Weyl-Hörmander, Bull. Soc. math. France (1994) no. 122, pp. 77-118 | Numdam | MR | Zbl

[5] Bony, J.-M.; Lerner, N. Quantification asymptotique et microlocalisations d’ordre supérieur I, Ann. Sci. E.N.S., 4e série, Volume 22 (1989), pp. 377-433 | Numdam | Zbl

[6] Cancelier, C. E.; Chemin, J.-Y.; Xu, C. J. Calcul de Weyl et opérateurs sous-elliptiques, Ann. Inst. Fourier, Volume 43 (1993) no. 4, pp. 1157-1178 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[7] Chang, D.-C.; Greiner, P. Harmonic Analysis and Subriemannian Geometry on Heisenberg Groups, Bull. Inst. Maths., Volume 30 (2002) no. 3, pp. 153-190 (Acad. Sin.) | MR | Zbl

[8] Chemin, J.-Y.; Xu, C. J. Inclusions de Sobolev en calcul de Weyl-Hörmander et champs de vecteurs sous-elliptiques, Ann. Sci. E.N.S., Volume 30 (1997), pp. 719-751 | Numdam | MR | Zbl

[9] Chemin, J.-Y.; Xu, C. J.; Colombini, F.; Lerner, N. Sobolev embeddings in Weyl-Hörmander calculus, Geometrical optics and related topics, Birkhäuser, 1997, pp. 79-93 | MR

[10] Davies, E. B. One parameter semi-groups, Academic Press, New York, 1980 | MR | Zbl

[11] Jean, F. Uniform Estimations of Sub-Riemannian Balls, Journal on Dynamical and Controll Systems, Volume 7 (2001) no. 4, pp. 473-500 | DOI | MR | Zbl

[12] Jerison, D. S.; Sánchez-Call, A. Subelliptic, Second Order Differential Operators, Complex Analysis III, Volume 1277, Lect. Notes in Maths, 1986, pp. 46-77 | Zbl

[13] Jerison, D. S.; Sánchez-Calle, A. Estimates for the Heat Kernel for a Sum of Squares of Vector Fields, Indiana Univ. Math. J., Volume 35 (1986) no. 4, pp. 835-854 | DOI | MR | Zbl

[14] Montgomery, R. A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications, Math. Surveys & Monographs, Volume 91, A.M.S., 2002 | MR | Zbl

[15] Vigneron, F. The trace problem for Sobolev spaces over the Heisenberg group, École polytechnique, 2006 Preprint (2006-03)

Cité par Sources :