Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques

Colliot-Thélène, Jean-Louis; Suresh, Venapally

doi:10.5802/aif.2258

Colliot-Thélène, Jean-Louis ¹ ; Suresh, Venapally ²

¹ Université Paris-Sud C.N.R.S., Mathématiques, UMR 8628 Bâtiment 425 91405 Orsay (France)
² P.O. Central University Department of Mathematics and Statistics Gachibowli Hyderabad 500 046 Andhra Pradesh (Inde)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 273-288.

Résumé
Abstract

Soient $K$ un corps global, $T$ un $K$ -tore, $S$ un ensemble fini de places de $K$ . On note $K_{v}$ le complété de $K$ en $v \in S$ . Soit $T (K)$ , resp. $T (K_{v})$ , le groupe des points $K$ -rationnels, resp. $K_{v}$ -rationnels, de $T$ . Notons $T (O_{v}) \subset T (K_{v})$ le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour $T$ et $S$ convenables l’application $T (K) \to \prod_{v \in S} T (K_{v}) / T (O_{v})$ induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour $v$ convenable le groupe $T (O_{v})$ ne couvre pas forcément toutes les classes de $R$ -équivalence de $T (K_{v})$ . Lorsque $K$ est un corps de fonctions d’une variable sur un corps fini, en utilisant le même type de tore, nous montrons qu’une certaine constante rencontrée par D. Bourqui dans son étude de la fonction zêta des hauteurs des variétés toriques sur un tel corps n’est pas toujours égale à 1.

Let $K$ be a global field, $T$ a $K$ -torus and $S$ a finite set of places of $K$ . Let $K_{v}$ be the completion at $v \in S$ . Denote by $T (O_{v}) \subset T (K_{v})$ the maximal compact subgroup of the group of $K_{v}$ -points of $T$ . We show that the map $T (K) \to \prod_{v \in S} T (K_{v}) / T (O_{v})$ induced by the diagonal map need not be onto. As a corollary, for suitable $v$ , the group $T (O_{v})$ does not cover all $R$ -equivalence classes in $T (K_{v})$ . D. Bourqui has recently studied the height zeta function of toric varieties over a function field in one variable over a finite field. In the course of this study he encountered a certain constant. The same type of torus as constructed for the problem above enables us to show that this constant need not always be 1.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2258

Classification : 20G30, 20G25, 14G40, 11E72, 14M25
Mot clés : tores algébriques, approximation faible, R-équivalence, variétés toriques, fonction zêta des hauteurs, constante de Peyre, corps de fonctions d’une variable sur un corps fini
Keywords: Algebraic tori, weak approximation, R-equivalence, toric varieties, height zeta function, Peyre’s constant, function fields in one variable over a finite field

Affiliations des auteurs :

Colliot-Thélène, Jean-Louis ¹ ; Suresh, Venapally ²

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Colliot-Thélène, Jean-Louis; Suresh, Venapally. Quelques questions d’approximation faible pour les tores algébriques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 273-288. doi : 10.5802/aif.2258. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2258/

Bibliographie
Cité par

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