no. 4
Non oscillating solutions of analytic gradient vector fields
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 4, pp. 1045-1067.

Soit γ une trajectoire d’un champ de vecteurs analytique réel ξ dans un voisinage de 0∈ℝ 3 possédant un point limite ω(γ)={0}. On dit que γ est non oscillante si, pour toute surface analytique H, ou bien γ est contenue dans H ou bien γ ne coupe H qu’en un nombre fini de points. Dans cet article, on établit une condition suffisante pour que γ soit non oscillante en termes d’existence de “tangentes itérées généralisées”, c’est-à-dire, d’existence d’un point limite pour chaque transformée de γ par des éclatements. Comme application, on démontre la propriété de non oscillation pour les trajectoires du champ de vecteurs gradient ξ=∇ g f d’une fonction analytique f d’ordre 2 en 0∈ℝ 3 , où g est une métrique analytique

Let γ be an integral solution of an analytic real vector field ξ defined in a neighbordhood of 0∈ℝ 3 . Suppose that γ has a single limit point, ω(γ)={0}. We say that γ is non oscillating if, for any analytic surface H, either γ is contained in H or γ cuts H only finitely many times. In this paper we give a sufficient condition for γ to be non oscillating. It is established in terms of the existence of “generalized iterated tangents”, i.e. the existence of a single limit point for any transform property for the solutions of a gradient vector field ξ=∇ g f of an analytic function f of order 2 at 0∈ℝ 3 , where g is an analytic riemannian metric.

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