no. 3
Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 861-912.

Lorsqu’un tore T agit sur une variété algébrique complexe X munie de la topologie transcendante, nous définissons la classe d’Euler T-équivariante d’un point fixe isolé x∈X T , qu’il soit lisse ou non. Cette classe est une fraction rationnelle à un nombre fini de variables et lorsque x est rationnellement lisse dans X, c’est un polynôme qui s’identifie canoniquement à la classe d’Euler équivariante usuelle, mais, réciproquement, lorsque la classe d’Euler équivariante est polynomiale, il n’est pas toujours vrai que le point soit rationnellement lisse. Nous donnons dans cet article des conditions suffisantes permettant d’affirmer, pour un point fixe isolé de X, l’équivalence entre “être rationnellement lisse dans X” et “avoir une classe d’Euler équivariante polynomiale”. Comme application de ces idées, nous démontrons un critère de lissité rationnelle pour les points d’une variété de Schubert.

In this paper we consider complex algebraic varieties endowed with an action of a torus T and we define the T-equivariant Euler class for any, smooth or not, isolated fixed point x∈X T . This class is a rational fraction on a finite number of variables and when x is a rationally smooth point of X, it is a polynomial function canonically identified to the usual equivariant Euler class. We give sufficient conditions for an isolated fixed point of X having a polynomial equivariant Euler class to be smooth or rationally smooth. Finally, we apply these ideas to prove a rational smoothness criterion for the points of a Schubert variety.

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Arabia, Alberto. Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses. Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 861-912. doi : 10.5802/aif.1642. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1642/

[A1] A. Arabia, Cycles de Schubert et cohomologie équivariante de K/T, Inventiones Mathematicae, 85 (1986), 39-52. | MR | Zbl

[A2] A. Arabia, Cohomologie T-équivariante de la variété de drapeaux d'un groupe de Kač-Moody, Bull. Soc. Math. France, 117 (1989), 129-165. | Numdam | MR | Zbl

[AB] M.F. Atiyah, R. Bott, The moment map and equivariant cohomology, Topology, 23, n° 1 (1984), 1-28. | MR | Zbl

[AP] C. Allday, V. Puppe, Cohomological Methods in Transformation Groups, Cambridge studies in advanced mathematics 32, Cambridge University Press (1993). | MR | Zbl

[Bo] A. Borel et al, Intersection Cohomology, Progress in Mathematics 50, Birkhäuser (1984). | MR | Zbl

[Bri] M. Brion, Equivariant Chow groups for torus actions, Birkhäuser, Transformation groups, Vol 2, n° 3 (1997), 1-43. | Zbl

[Bry] J.-L. Brylinski, Equivariant intersection cohomology, Collection : Kazhdan-Lusztig theory and related topics (Chicago, IL, 1989), 5-32. Series : Contemp. Math., 139, American Mathematical Society, (1992). | MR | Zbl

[C] J.B. Carrell, The Bruhat graph of a Coxeter group, a conjecture of Deodhar, and rational smoothness of Schubert varieties, Algebraic groups and their generalizations : classical methods. University Park, PA, (1991), 53-61, Proc. Sympos. Pure Math., 56 (1994), Part 1. | MR | Zbl

[Dem] M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., (4) 7 (1974), 53-88. | Numdam | MR | Zbl

[Deo] V. Deodhar, Local Poincaré duality and non-singularity of Schubert varieties, Communications in Algebra, 13 (1986), 1379-1388. | MR | Zbl

[Dy] M.J. Dyer, The nil-Hecke ring and Deodhar's conjecture on Bruhat intervals, Inventiones Mathematicae, 111 (1993), 571-574. | MR | Zbl

[EGA] A. Grothendieck, Eléments de géométrie algébrique III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents (première partie), Publications Mathématiques de l'I.H.E.S., n° 11 (1961). | Numdam

[GM] M. Goresky, R. Macpherson, Intersection homology II, Inventiones Mathematicae, 71 (1983), 77-129. | MR | Zbl

[Ha] H.C. Hansen, On cycles in flag manifolds, Math. Scand., 33 (1970), 269-274. | MR | Zbl

[Hs] W.Y. Hsiang, Cohomology Theory of Topological Transformation Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebeite. Band, 85, Springer-Verlag (1970). | MR | Zbl

[KaL1] D. Kazhdan, G. Lusztig, Representations of Coxeter Groups and Hecke Algebras, Inventiones Mathematicae, 53 (1979), 165-184. | MR | Zbl

[KaL2] D. Kazhdan, G. Lusztig, Schubert varieties and Poincaré duality, Proc. Sympos. Pure Math., A.M.S., 36 (1980), 185-203. | MR | Zbl

[KuKo] B. Kostant, S. Kumar, The nil-Hecke ring and cohomology of G/P for a Kač-Moody group G, Advances in Math., 62 (1986), 187-237. | MR | Zbl

[Ku0] S. Kumar, A connexion of equivariant K-theory with the singularity of Schubert varieties, prépublication (1986-1987).

[Ku1] S. Kumar, The nil-Hecke ring and singularity of Schubert varieties, in “Lie Theory and geometry (in honor of Bertram Kostant)”, Progress in Math., 123, Birkhäuser, 497-507 (1994). | MR | Zbl

[Ku2] S. Kumar, The nil-Hecke ring and singularity of Schubert varieties, Inventiones Mathematicae, 123, n° 3 (1996), 471-506. | MR | Zbl

[M] J. Mccleary User's guide to spectral sequences, Publish or Perish, Mathematical lecture series 12 (1985). | MR | Zbl

[L] D. Luna, Slices étales, Bulletin Soc. Math. France, Mémoire 33 (1973), 81-105. | Numdam | MR | Zbl

[Ma] H. Matsumura, Commutative algebra, Benjamin, New York, 1970. | MR | Zbl

[Mi] J. Milnor, Construction of universal bundles. I, II, Ann. of Math., (2) 63 (1956), 272-284, 430-436. | MR | Zbl

[P] P. Polo, On Zariski tangent spaces of Schubert varieties, and a proof of a conjecture of Deodhar, Indagationes Mathematicae, New-Series 5, n° 4 (1994), 483-493. | MR | Zbl

[Q] D. Quillen, The spectrum of an equivariant cohomology ring I, II, Ann. of Math., (2) 94 (1971), 549-572, 573-602. | MR | Zbl

[R] W. Rossmann, Equivariant multiplicities on complex varieties, in “Orbites unipotentes et representations, III”, Astérisque, n° 173-174 (1989), 313-330. | MR | Zbl

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