no. 3
Le rôle des algèbres A de Wiener, A ∞ de Beurling et H 1 de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 611-648.

La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir N(x), la fonction de décompte des entiers généralisés, P(x), celle des nombres premiers généralisés, et ζ(s), la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur N(x) se traduisent en propriétés de ζ(s), qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) P(x)∼x/ log x ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) P(x)=O(x/ log x). L’article est consacré au rôle de la fonction itζ(1+it), en relation avec les algèbres A=ℱL 1 (ℝ),A ∞ =f sup y≥|x| | (ℱf) (x) | ∈ L 1 ( ℝ + ,dy) et H 1 =ℱL 2 (ℝ,(1+y 2 )dy). On montre que l’hypothèse itζ(1+it) exp (-2|t| α )∈H 1 entraîne (TNP) quand α<2 et non quand α=2, et que l’appartenance locale de itζ(1+it) à H 1 ou A ∞ (mais non A) au voisinage de 0 entraîne (IT).

The theory of Beurling’s generalized prime numbers involves N(x), the counting function of the generalized integers, P(x), the counting function of the generalized prime numbers, and ζ(s), the related zeta function. Assumptions on (N(x) correspond to properties of ζ(s), which may or not imply the “prime number theorem” (PNT) P(x)∼x/ log x or the “Tchebycheff inequality” (TI) P(x)=O(x/ log x). The article studies the role of the function itζ(1+it), in relation with the algebras A=ℱL 1 (ℝ),A ∞ =f sup y≥|x| | (ℱf) (x) | ∈ L 1 ( ℝ + ,dy) et H 1 =ℱL 2 (ℝ,(1+y 2 )dy). It is shown that the assumption itζ(1+it) exp (-2|t| α )∈H 1 implies (PNT) if α<2, but not when α=2, and that (TI) is implied by the fact that itζ(1+it) belongs locally to H 1 or A ∞ in a neighborhood of 0, but not by the corresponding assumption with A in place of H 1 or A ∞ .

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