no. 5
Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire
Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1239-1248.

Soient X une variété abélienne sur un corps de nombres E et G son groupe de Mumford–Tate. Soit v une valuation de E et pour tout nombre premier ℓ tel que v(ℓ)=0, soit F ℓ ∈G(Q ℓ ) l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale ℓ-adique de X. On montre que si X a une bonne réduction ordinaire en v, alors il existe F∈G(Q) tel que, pour tout ℓ, F ℓ soit conjugué à F dans G(Q ℓ ). On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de X modulo v.

Let X be an abelian variety over a number field E and let G be its Mumford–Tate group. Let v be a valuation of E and for each prime number ℓ with v(ℓ)=0, let F ℓ ∈G(Q ℓ ) be the (geometric) Frobenius automorphism of the ℓ-adic étale cohomology of X. It is shown that if X has good and ordinary reduction at v, then there is an element F∈G(Q) such that, for each ℓ, F ℓ is conjugate to F inside G(Q ℓ ). We prove a similar result for the frobenius on the crystalline cohomology of the reduction of X modulo v.

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Noot, Rutger. Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire. Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1239-1248. doi : 10.5802/aif.1494. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1494/

[De] P. Deligne, Hodge cycles on abelian varieties, Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties (P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus and K.-y. Shih), Chapter I, pp. 9-100, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Verlag, 1982. | Zbl

[DM] P. Deligne, J. S. Milne, Tannakian categories, Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties (P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus and K.-y. Shih), Chapter II, pp. 101-228, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Verlag, 1982. | Zbl

[Mi] J. S. Milne, Etale Cohomology, Princeton University Press, 1980. | MR | Zbl

[M-B] L. Moret-Bailly, Pinceaux de variétés abéliennes, Astérisque, Soc. Math. France, 129 (1985). | MR | Zbl

[MF] D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory, Second enlarged edition, Springer-Verlag, 1982. | MR | Zbl

[No] R. Noot, Models of Shimura varieties in mixed characteristic, à paraître dans J. Algebraic Geom. | Zbl

[Og] A. Ogus, A p-adic Analogue of the Chowla-Selberg Formula, p-adic Analysis (F. Baldassarri, S. Bosch and B. Dwork editors), pp. 319-341, Lecture Notes in Math. 1454, Springer-Verlag, 1990. | MR | Zbl

[Se] J.-P. Serre, Propriétés conjecturales des groupes de Galois motiviques et des représentations l-adiques, Motives (U. Jansen, S. Kleiman, J.-P. Serre editors), pp. 377-400, Proc. Sympos. Pure Math. 55, Part 1, Amer. Math. Soc., 1994. | MR | Zbl

[ST] J.-P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Ann. of Math., 88 (1968), 492-517. | MR | Zbl

[Wi] J.-P. Wintenberger, Torseur entre cohomologie étale p-adique et cohomologie cristalline, le cas abélien, Duke Math. J., 62 (1991), 511-526. | MR | Zbl

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