no. 5
Actions localement libres de groupes résolubles
Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 5, pp. 1519-1537.

Soient G un groupe de Lie connexe de dimension n-1, Φ une action localement libre de classe C r (r≥2) de G sur une variété compacte M de dimension n≥3. Nous supposons qu’il existe dans l’algèbre de Lie de G un champ Y tel que les valeurs propres de ad (Y) soient α 1 ,...,α n-2 ,0 avec Re (α i )<0∀i. Alors, nous montrons que Φ est C r -conjuguée à une “action modèle" de G sur un espace homogène H/Γ où H est un groupe de Lie contenant G. Si n≥4, H est uniquement déterminé par G; si n=3, il y a deux groupes H possibles, et nous pouvons donc donner une classification complète. D’autre part, nos hypothèses impliquent que G a une structure particulière, mais il existe quand même de nombreux exemples : notamment, la famille des groupes G ayant cette propriété est continue en toute dimension ≥4 ; pour un choix générique de G, le groupe H correspondant n’a aucun quotient compact de dimension n, et ceci fournit une famille continue de groupes de Lie ne possédant aucune action de codimension 1 “suffisamment régulière” sur une variété compacte. Ces résultats sont liés à la théorie d’Anosov.

Let G be a connected (n-1)-dimensional Lie group and Φ a C r (r≥2) locally free action of G on a compact n-dimensional manifold (n≥3). We assume that the Lie algebra of G contains a field Y such that the eigenvalues of ad (Y) are α 1 ,...,α n-2 ,0 with Re (α i )<0. Then, we show that Φ is C r -conjugated to a homogeneous action of G on H/Γ where H is a Lie group containing H and Γ a lattice of H. We provide many examples, related to Anosov theory.

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[An] D.V. Anosov, Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature, Proc. Steklov Inst. Math., A.M.S. Translations (1969).

[AI] D.V. Arnold, Yu.D. Ill'Yashenko, E.M.S. I (Dynamical Systems), Springer-Verlag.

[Be] P. Bernat & al., Représentations des groupes de Lie résolubles, Dunod, Paris 4 (1972). | MR | Zbl

[Bo] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, Masson, éditeur. | Zbl

[DNF] B. Doubrovine, S. Novikov, R. Fomenko, Géométrie contemporaine (vol. 1), éditions MIR.

[EN] A. El Kacimi Alaoui, M. Nicolau, A class of C∞-stable foliations, Ergod. Th. & Dynam. Sys., 13 (1993), 697-704. | MR | Zbl

[Gh1] E. Ghys, Actions localement libres du groupe affine, Invent. Math., 82 (1985), 479-526. | MR | Zbl

[Gh2] E. Ghys, Codimension 1 Anosov flows and suspensions, Lecture Notes, 1331 (1980).

[Go] C. Godbillon, Feuilletages, Birkhauser, P.M. 98 (1989). | MR | Zbl

[GT] E. Ghys, T. Tsuboi, Différentiabilité des conjugaisons entre systèmes dynamiques de dimension 1, Ann. Inst. Fourier, 38-1 (1988), 215-244. | Numdam | MR | Zbl

[HPS] M.W. Hirsh, C.C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Lect. Notes Math., 583 (1977). | Zbl

[Ma] B. Marcus, Ergodic properties of horocyclic flows for surfaces of negative curvature, Ann. Math., 105 (1977), 81-105. | MR | Zbl

[Pi] C. Pisot, Eine merkwürdige Klasse ganzer algebraischer Zahlen, J. Reine Angew. Math., 209 (1962), 82-83. | MR | Zbl

[Pl] J.F. Plante, Foliations with measure preserving holonomy, Ann. Math., 102 (1978), 327-361. | MR | Zbl

[Ra] M.S. Raghunathan, Discrete subgroups of Lie groups, Springer. | Zbl

[To1] P. Tomter, Anosov flows on infra-homogeneous spaces, Proc. Symp. In Pure Math., 14 (1970), 299-327. | MR | Zbl

[To2] P. Tomter, On the classification of Anosov flows, Topology, 14 (1975), 179-189. | MR | Zbl

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