no. 3
Stokes phenomenon, multisummability and differential Galois groups
Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 3, pp. 849-906.

On précise la description cohomologique du phénomène de Stokes des systèmes différentiels linéaires de Malgrange et Sibuya en caractérisant chaque classe de cohomologie par un unique cocycle appelé “cocyle de Stokes". Et on détaille un algorithme algébrique qui transforme un cocyle quelconque en l’unique cocycle de Stokes qui lui est cohomologue. Ceci conduit à une définition presque algébrique des sommes des solutions formelles des systèmes qu’on compare aux sommations les plus connues. Par ailleurs, on utilise cette contruction du cocyle de Stokes dans une approche tannakienne de la théorie de Galois différentielle : on démontre en particulier par cette méthode, le théorème de Ramis sur la génération des groupes de Galois différentiels.

We precise the cohomological analysis of the Stokes phenomenon for linear differential systems due to Malgrange and Sibuya by making a rigid natural choice of a unique cocycle (called a Stokes cocyle) in every cohomological class. And we detail an algebraic algorithm to reduce any cocycle to its cohomologous Stokes form. This gives rise to an almost algebraic definition of sums for formal solutions of systems which we compare to the most usual ones. We also use this construction to the Stokes cocycle in a tannakian approach of differential Galois theory: in particular, we prove in this way, the theorem of Ramis on the generation of the differential Galois groups.

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Loday-Richaud, Michèle. Stokes phenomenon, multisummability and differential Galois groups. Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 3, pp. 849-906. doi : 10.5802/aif.1419. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1419/

[BV89] D.G. Babbitt, V.S. Varadarajan, Local moduli for meromorphic differential equation, Astérisque, n° 169-170 (1989). | MR | Zbl

[Ba91] W. Balser, Summation of formal power series through iterated Laplace transform, Preprint, Universität Ulm (1991). | Zbl

[BRS91] W. Balser, B.J.L. Braaksma, J.-P. Ramis, Y. Sibuya, Multisummability of formal power series solutions of linear ordinary differential equations, Asymptotic Analysis, 5 (1991), 27-45. | MR | Zbl

[BJL79] W. Balser, W.B. Jurkat, D.A. Lutz, A General Theory of Invariants for Meromorphic Differential Equations; Part I, Formal Invariants - Part II, Proper Invariants, Funkcialaj Ekvacioj, 22 (1979), 197-221, 257-283. | MR | Zbl

[Br91-1] B.J.L. Braaksma, Multisummability and Stokes Multipliers of Linear Meromorphic Differential Equations, Journal of Differential Equations, vol. 92, n° 1 (1991). | MR | Zbl

[Br91-2] B.J.L. Braaksma, Multisummability of Formal Power Series Solutions of Non-Linear Meromorphic Differential Equations, Preprint W9105 University of Groningen-Netherland (1991). | Zbl

[Bre92] L. Breen, Tannakian Categories, Prépublication 92-13, Université Paris-Nord, 93430 Villetaneuse. | Zbl

[Be79] D. Bertrand, Travaux récents sur les points singuliers des équations différentielles linéaires, Séminaire Bourbaki, 31e année, juin 1979, exposé n° 538. | Numdam | Zbl

[Be85] D. Bertrand, Groupes algébriques linéaires et théorie de Galois différentielle, Cours de 3e cycle à l'Université Pierre et Marie Curie (Paris 6), 1985-1986; notes de cours rédigées par René Lardon.

[De70] P. Deligne, Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Mathematics n° 163, Springer-Verlag (1970). | MR | Zbl

[De77] P. Deligne, Lettre à Malgrange (22 août 1977).

[De86] P. Deligne, Lettre à Varadarajan (4 janvier 1986), lettre à Ramis (7 janvier 1986), lettre à Ramis (25 et 28 février 1986).

[De90] P. Deligne, Catégories tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. 2, Progress in Math. 87, Birkhäuser (1990), 111-195. | MR | Zbl

[DeMi80] P. Deligne, J.S. Milne, Tannakian categories, Lectures Notes in Mathematics n° 900, Springer-Verlag (1980). | Zbl

[Ec85] J. Écalle, Les fonctions résurgentes: l'équation du pont et la classification des objets locaux, vol. 3, Pub. Math. Orsay, (1985). | Zbl

[Ec92] J. Écalle, Calcul accélératoire et applications, à paraître dans "Actualités Mathématiques", Hermann, Paris.

[Fr56] J. Frenkel, Cohomologie non abélienne et espaces fibrés, Thèse, 22 décembre 1956, Gauthier-Villars, série A n° 2963, numéro d'ordre 3835.

[Hu42] M. Hukuhara, Sur les points singuliers des équations différentielles linéaires, III, Mem. Fac. Sci. Kyushu University, 2 (1942), 125-137. | MR | Zbl

[Ju78] W.B. Jurkat, Meromorphe Differentialgleichungen, Lecture Notes in Mathematics n° 637, Springer-Verlag (1978). | MR | Zbl

[Kap73] I. Kaplansky, An Introduction to Differential Algebra, Hermann, Paris (1957). | MR | Zbl

[Kat87] N.M. Katz, On the calculation of some differential Galois groups, Invent. Math., (1987), 13-61. | MR | Zbl

[Ko73] E.R. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, Academic Press, New York, (1973). | MR | Zbl

[Le00] E. Leroy, Sur les séries divergentes et les fonctions définies par un développement de Taylor, Ann. Fac. Sc. Université de Toulouse, (1900), 317-430. | JFM | Numdam

[LR90-1] M. Loday-Richaud, Calcul des invariants de Birkhoff des systèmes d'ordre deux, Funkcialaj Ekvacioj, vol. 33, n° 2, 161-225. | MR | Zbl

[LR90-2] M. Loday-Richaud, Introduction à la multisommabilité, Gazette des Mathématiciens n° 44, SMF (avril 1990), 41-63. | MR | Zbl

[LR91] M. Loday-Richaud, Classification méromorphe locale des systèmes différentiels linéaires méromorphes: phénomène de Stokes et applications, Thèse d'État, Orsay, 22 mai 1991.

[LR92] M. Loday-Richaud, Séries formelles provenant de systèmes différentiels linéaires méromorphes Journées X-UPS 91, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau-cedex (1992), 69-99. Version étendue à paraître dans Expositiones Mathematicæ.

[Mal74] B. Malgrange, Sur les points singuliers des équations différentielles, L'Enseignement Mathématique, n° 20, fasc. 1-2 (1974), 147-176. | Zbl

[Mal79] B. Malgrange, Remarques sur les équations différentielles à points singuliers irréguliers, in Lecture Notes in Mathematics, Équations différentielles et systèmes de Pfaff dans le champ complexe, édité par R. Gérard et J.-P. Ramis, n° 712, Springer-Verlag (1979), 77-86. | MR | Zbl

[Mal81] B. Malgrange, Travaux d'Écalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Séminaire Bourbaki n° 582, nov. 1981. | Numdam | Zbl

[Mal83] B. Malgrange, La classification des connexions irrégulières à une variable, "Mathématiques et Physique", Séminaire de l'Ecole Normale Supérieure (Paris 1979-1982), 381-399; Progress in Math. vol. 37, Birkhaüser (1983). | Zbl

[Mal85] B. Malgrange, Introduction aux travaux de J. Écalle, L'Enseignement Mathématique, t. 31 (1985), 261-282. | MR | Zbl

[MalR92] B. Malgrange, J.-P. Ramis, Fonctions multisommables, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 42, 1-2 (1992), 353-368. | Numdam | MR | Zbl

[MR82] J. Martinet, J.-P. Ramis, Problèmes de modules pour les équations différentielles non linéaires du premier ordre, Publications Mathématiques de l'IHES n° 55 (1982), 63-164. | Numdam | MR | Zbl

[MR89] J. Martinet, J.-P. Ramis, Théorie de Galois différentielle et resommation, Computer algebra and differential equations, E. Tournier ed., Academic Press, (1989). | Zbl

[MR91] J. Martinet, J.-P. Ramis, Elementary acceleration and multisummability, Annales de l'Institut Henri Poincaré, série A, Physique théorique, 54-1 (1991), 1-71. | Numdam | MR | Zbl

[Mi91] C. Mitschi, Differential Galois groups and G-functions, Differential equations and Computer algebra, M. Singer ed., Academic Press (1991). | Zbl

[Ra80] J.-P. Ramis, Les séries k-sommables et leurs applications, Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory, Proceedings "Les Houches" 1979; D. Iagolnitzer ed., Springer Lecture Notes in Physics n° 126 (1980), 178-199.

[Ra85-1] J.-P. Ramis, Phénomène de Stokes et resommation, CRAS Paris, t. 301 (1985), 99-102. | MR | Zbl

[Ra85-2] J.-P. Ramis, Phénomène de Stokes et filtration Gevrey sur le groupe de Picard-Vessiot, CRAS Paris, t. 301 (1985), 165-167. | MR | Zbl

[Ra85-3] J.-P. Ramis, Filtration Gevrey sur le groupe de Picard-Vessiot d'une équation différentielle irrégulière, Preprint n° 45, Instituto de Matematica Pura e Aplicada, IMPA, Rio-de-Janeiro (1985), 1-38.

[RS89] J.-P. Ramis, Y. Sibuya, Hukuhara's domains and fundamental existence and uniqueness theorems for asymptotic solutions of Gevrey type, Asymptotic Analysis 2 (1989), 39-94. | MR | Zbl

[Si76] Y. Sibuya, Linear differential equations in the complex domain; problems of analytic continuation, Kinokuniya, Tokyo (1976), en japonais.

[Si77] Y. Sibuya, Stokes phenomena, Bull. Am. Math. Soc., vol. 83, n° 5 (1977), 1075-1077. | MR | Zbl

[Si90] Y. Sibuya, Linear differential equations in the complex domain: problems of analytic continuation, Translations of Mathematical Monographs, vol. 82, AMS (1990). | Zbl

to1857] G.G. Stokes, On the discontinuity of arbitrary constants which appear in divergent developments, Trans. of the Cambridge Phil. Soc., vol. X (1857), 106-128.

[Wa65] W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, New-York, 1965; reprint R.E. Krieger Publishing Co, inc. (1976). | Zbl

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