Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local
Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 313-384.

L’objet de cet article est l’étude de l’anneau L(E) des A-endomorphismes d’un module de type fini E sur un anneau local A d’idéal maximal m, de corps des restes k. Si C est un sous-module caractéristique, on définit un homomorphisme naturel de L(E) dans L(E/C). En particulier, si C=mE, l’image de L(E) dans L(E/mE) par cet homomorphisme ϕ est une approximation de l’anneau L(E) par une sous-algèbre de la k-algèbre L(E/mE). Réciproquement, si R est une algèbre de dimension finie sur un corps k, il existe un anneau local A de corps des restes k et un A-module de type fini E tels que ϕ[L(E)] soit isomorphe à R. Si E est fidèle, la surjectivité de ϕ est équivalente au fait que E est libre. Un exemple simple montre que l’homomorphisme naturel de L(E) dans L(E/m i E) peut ne pas être surjectif pour i grand. Si C est un sous-module caractéristique maximal, l’idéal Hom A (E,C) est bilatère maximal et, réciproquement, tout idéal bilatère maximal I tel que Σ u∈I u(E) soit distinct de E est de ce type. La recherche des A-modules E tels que l’anneau L(E) soit commutatif se ramène, par extension d’anneau, à la recherche de modules dont les seuls endomorphismes sont les homothéties. Si l’anneau A est intègre, l’égalité L(E)=A implique que E est isomorphe à un idéal convenable de A. Il n’en est plus de même dans le cas général. L’étude d’un endomorphisme particulier u se fait, si l’anneau A est hensélien, par une technique de relèvement de décomposition en somme directe. Si l’anneau A est factoriel, on obtient une condition suffisante portant sur le polynôme minimal de u.

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Lafon, Jean-Pierre. Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local. Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 313-384. doi : 10.5802/aif.115. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.115/

[1] G. Azumaya, On maximally central Algebras, Nagoya math. journal, t. 2, 1951, 119-150. | MR | Zbl

[2] R. Baer, Automorphism Rings of primary abelian operator Groups, Ann. of math, 1943, 192-227. | MR | Zbl

[3] N. Bourbaki, Algèbre, chap. 2, Hermann, 1955.

[4] N. Bourbaki, Algèbre, chap. 3, Hermann, 1952.

[5] N. Bourbaki, Algèbre, chap. 6 et 7, Hermann, 1952.

[6] N. Bourbaki, Algèbre, chap. 8, Hermann, 1958. | Zbl

[7] P. Cartier, Questions de rationnalité des diviseurs en géométrie algébrique. Appendice, Bull. soc. math. de France, t. 86, fasc. 3, 1958, 245-250. | Numdam | Zbl

[8] Cartan-Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press, 1956. | Zbl

[9] A. Chatelet, Les groupes abéliens finis et les modules de points entiers, Paris, Gauthier-Villars et Lille, Bibliothèque universitaire, 1924. | JFM

[10] P. Dubreil, Algèbre, Gauthier-Villars, 1954.

[11] P. Gabriel, Objets injectifs dans les catégories abéliennes. Sem., P. Dubreil, M. L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot, 1958-1959. | EuDML | Numdam | Zbl

[12] N. Jacobson, Structure of Rings, Providence. Amer. math. Soc., 195, (Amer. math. soc. coll. publ. 37). | MR | Zbl

[13] I. Kaplansky, Infinite abelian Groups, Ann. Arbor. Univ. of Michigan Providence, 1954. | MR | Zbl

[14] K. Morita, Duality for Modules and its Applications to the Theory of Rings with minimum conditions. Sc. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, sect. A, 1958, 83-142. | MR | Zbl

[15] C. Nesbitt, On the regular Representations of Algebras, Ann. of. math., 39, 1938, 634-658. | JFM | MR | Zbl

[16] D. Rees, The grade of an Ideal or Module, Proc. Cambridge. Phil. Soc., 53, 1957, 28-42. | MR | Zbl

[17] P. Samuel, Algèbre locale, Gauthier-Villars. Mem. Sc. math., fasc. 1, 1953. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[18] P. Samuel, Remarques sur le lemme de Hensel, Proc. of the Int. Congress of Math., 1954, 63-64.

[19] J. P. Serre, Géométrie algébrique et géométrique analytique, Ann. Inst. Fourier, t. 6, 1955-1956, 1-42. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[20] M. Shiffman, The Ring of Automorphisme of an abelian Group, Duke math. Journal, t. 6, 1940, 579-597. | JFM | MR | Zbl

[21] Zariski-Samuel, Commutative Algebra, Van Nostrand, 1958. | MR | Zbl

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