On finitely generated closed ideals in $H^\infty (D)$

Bourgain, Jean

doi:10.5802/aif.1032

On finitely generated closed ideals in

H^{\infty} (D)

Bourgain, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 163-174.

Résumé
Abstract

Soit $f_{1}, ..., f_{N}$ un nombre fini de fonctions dans l’espace $H^{\infty} (D)$ des fonctions bornées analytiques dans le disque unité ouvert $D$ . Nous donnons une condition suffisante pour qu’une fonction $f$ dans $H^{\infty} (D)$ appartienne à l’adhérence pour la norme de l’idéal $I (f_{1}, ..., f_{N})$ engendré par $f_{1}, ..., f_{N}$ , notamment la propriété

| f (z) | \leq α (| f_{1} (z) | + ... + | f_{N} (z) |) pour z \in D

où $α$ est une fonction sur $R_{+}$ telle que ${lim}_{t \to 0} \frac{α (t)}{t} = 0$ . Le point essentiel est une amélioration dans la construction du contour, due à L. Carleson, liée au théorème de la couronne. Il est démontré aussi que la propriété

| f (z) | \leq C max_{1 \leq j \leq N} | f_{j} (z) | pour z \in D

pour une constante $C$ , n’entraîne pas nécessairement que $f$ est dans l’adhérence de $I (f_{1}, ..., f_{N})$ .

Assume $f_{1}, ..., f_{N}$ a finite set of functions in $H^{\infty} (D)$ , the space of bounded analytic functions on the open unit disc. We give a sufficient condition on a function $f$ in $H^{\infty} (D)$ to belong to the norm-closure of the ideal $I (f_{1}, ..., f_{N})$ generated by $f_{1}, ..., f_{N}$ , namely the property

| f (z) | \leq α (| f_{1} (z) | + ... + | f_{N} (z) |) for z \in D

for some function $α$ : $R_{+} \to R_{+}$ satisfying ${lim}_{t \to 0} α (t) / t = 0 .$ The main feature in the proof is an improvement in the contour-construction appearing in L. Carleson’s solution of the corona-problem. It is also shown that the property

| f (z) | \leq C max_{1 \leq j \leq N} | f_{j} (z) | for z \in D

for some constant $C$ , does not necessary imply that $f$ is in the closure of $I (f_{1}, ..., f_{N})$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1032

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Bourgain, Jean. On finitely generated closed ideals in $H^\infty (D)$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 163-174. doi : 10.5802/aif.1032. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1032/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Carleson, Interpolation of bounded analytic functions and the corona problem, Annals of Math., 76 (1962), 547-552. | MR | Zbl

[2] P. Duren, Theory of Hp-spaces, Academic Press, New York, 1970. | MR | Zbl

[3] B. Dahlberg, Approximation by harmonic functions, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 30-2 (1980), 97-101. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] J. Garnett, Bounded analytic functions, Academic Press, New York, 1980. | MR

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