no. 6
Somme des chiffres et changement de base
de la Bretèche, Régis1 ; Stoll, Thomas2 ; Tenenbaum, Gérald2
1 Institut de Mathématiques de Jussieu-PRG UMR 7586 Université Paris Diderot-Paris 7 Sorbonne Paris Cité Case 7012, F-75013 Paris (France)
2 Institut Élie Cartan Université de Lorraine BP 70239 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 6, pp. 2507-2518.

Pour q⩾2, soit s q (n) la somme des chiffres d’un entier n en base q. Répondant, sous une forme étendue, à une question de Deshouillers, Habsieger, Laishram, et Landreau, nous montrons que, dès que a et b sont multiplicativement indépendants, tout nombre réel positif est valeur d’adhérence de la suite {s b (n)/s a (n)} n=1 ∞ . Nous donnons également un encadrement des fonctions de comptage des sous-suites associées.

For q⩾2, let s q (n) denote the sum of digits of an integer n in the base q expansion. Answering, in an extended form, a question of Deshouillers, Habsieger, Laishram, and Landreau, we show that, provided a and b are multiplicatively independent, any positive real number is a limit point of the sequence {s b (n)/s a (n)} n=1 ∞ . We also provide upper and lower bounds for the counting functions of the corresponding subsequences.

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DOI : 10.5802/aif.3300
Classification : 11A63, 11K16, 11K60, 11J82
Mot clés : somme des chiffres, indépendence multiplicative, exposant d’irrationalité, recentrage binomial
Keywords: sum of digits, multiplicative independence, exponent of irrationality, binomial recentering
de la Bretèche, Régis 1 ; Stoll, Thomas 2 ; Tenenbaum, Gérald 2

1 Institut de Mathématiques de Jussieu-PRG UMR 7586 Université Paris Diderot-Paris 7 Sorbonne Paris Cité Case 7012, F-75013 Paris (France)
2 Institut Élie Cartan Université de Lorraine BP 70239 54506 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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de la Bretèche, Régis; Stoll, Thomas; Tenenbaum, Gérald. Somme des chiffres et changement de base. Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 6, pp. 2507-2518. doi : 10.5802/aif.3300. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3300/

[1] Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey Automatic sequences. Theory, applications, generalizations, Cambridge University Press, 2003, xvi+571 pages | DOI | MR | Zbl

[2] Baker, Alan A sharpening of the bounds for linear forms in logarithms, Acta Arith., Volume 21 (1972), pp. 117-129 | DOI | MR | Zbl

[3] de la Bretèche, Régis; Tenenbaum, Gérald Dérivabilité ponctuelle d’une intégrale liée aux fonctions de Bernoulli, Proc. Am. Math. Soc., Volume 143 (2015) no. 11, pp. 4791-4796 | DOI | MR | Zbl

[4] Cassels, J. W. S. On a problem of Steinhaus about normal numbers, Colloq. Math., Volume 7 (1959), pp. 95-101 | DOI | MR | Zbl

[5] Cobham, Alan On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata, Math. Syst. Theory, Volume 3 (1969), pp. 186-192 | DOI | MR | Zbl

[6] Cobham, Alan Uniform tag sequences, Math. Syst. Theory, Volume 6 (1972), pp. 164-192 | DOI | MR | Zbl

[7] Deshouillers, Jean-Marc; Habsieger, Laurent; Laishram, Shanta; Landreau, Bernard Sums of the digits in bases 2 and 3, Number theory—Diophantine problems, uniform distribution and applications, Springer, 2017, pp. 211-217 | DOI | MR | Zbl

[8] Salikhov, Vladislav Kh. On the irrationality measure of ln3, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 417 (2007) no. 6, pp. 753-755 English tranlsation in Dokl. Math. 76 (2007), no. 3, p. 955-957 | DOI | MR | Zbl

[9] Tenenbaum, Gérald Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 2015 | Zbl

[10] Wu, Qiang; Wang, Lihong On the irrationality measure of log3, J. Number Theory, Volume 142 (2014), pp. 264-273 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :