A spectral analysis of automorphic distributions and Poisson summation formulas  [ Décomposition des distributions automorphes et formules de Poisson ]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 5, pp. 1151-1196.

Les distributions automorphes sur d sont celles invariantes par l’action linéaire du groupe SL(d,). Un cas particulier est constitué par les peignes, qui sont en outre des mesures à support dans d : la décomposition d’un peigne en ses composantes homogènes se fait suivant la famille (𝔈 iλ d ) λ , des distributions d’Eisenstein, les coefficients étant donnés par une série de Dirichlet 𝒟(s). Les équations fonctionnelles du genre usuel (Hecke) relatives à 𝒟(s), peuvent se traduire en termes de l’invariance du peigne considéré par la transformation de Fourier, légèrement modifiée. Ceci conduit à une façon automatique d’associer des formules du genre de la formule de Poisson, ou de celle de Voronoï, aux formes modulaires, holomorphes ou non-holomorphes

Automorphic distributions are distributions on d , invariant under the linear action of the group SL(d,). Combs are characterized by the additional requirement of being measures supported in d : their decomposition into homogeneous components involves the family (𝔈 iλ d ) λ , of Eisenstein distributions, and the coefficients of the decomposition are given as Dirichlet series 𝒟(s). Functional equations of the usual (Hecke) kind relative to 𝒟(s) turn out to be equivalent to the invariance of the comb under some modification of the Fourier transformation. This leads to an automatic way to associate Poisson-like (or Voronoï-like) summation formulas to (holomorphic or non-holomorphic) modular forms

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2048
Classification : 11E45,  11M36,  46F99
Mots clés: distributions automorphes, formule de Poisson, formule de Voronoï
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Unterberger, André. A spectral analysis of automorphic distributions and Poisson summation formulas. Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 5, pp. 1151-1196. doi : 10.5802/aif.2048. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2004__54_5_1151_0/

[1] D. Bump Automorphic Forms and Representations, Cambridge Series in Adv. Math, Tome 55 (1996) | MR 1431508 | Zbl 0868.11022

[2] H.M. Edwards Riemann's zeta function, Aca. Press, New York-London, 1974 | Zbl 01624314

[3] G.H. Hardy; E.M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press, London, 1962 | MR 568909 | Zbl 0423.10001

[4] D.A. Hejhal The Selberg trace formula and the Riemann zeta function, Duke Math. J, Tome 43 (1976) no. 3, pp. 441-482 | MR 414490 | Zbl 0346.10010

[5] H. Iwaniec Introduction to the spectral theory of automorphic forms, Revista Matemática Iberoamericana, Madrid (1995) | MR 1325466 | Zbl 0847.11028

[6] H. Iwaniec Topics in Classical Automorphic Forms, Graduate Studies in Math, Tome 17, A.M.S., Providence, 1997 | MR 1474964 | Zbl 0905.11023

[7] T. Kubota Elementary Theory of Eisenstein Series, Halsted Press, New York, 1973 | MR 429749 | Zbl 0268.10012

[8] P.D. Lax; R.S. Phillips Scattering Theory for Automorphic Functions, Ann. Math. Studies, Tome 87, Princeton Univ.Press, 1976 | MR 562288 | Zbl 0362.10022

[9] W. Magnus; F. Oberhettinger; R.P. Soni Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics, Springer-Verlag, Berlin, 1966 | MR 232968 | Zbl 0143.08502

[10] A. Ogg Modular Forms and Dirichlet Series, Benjamin Inc., New York-Amsterdam, 1969 | MR 256993 | Zbl 0191.38101

[11] A. Selberg On the Estimation of Fourier Coefficients of Modular Forms, Proc. Symp. Pure Math, Tome 8 (1963), pp. 1-15 | MR 182610 | Zbl 0142.33903

[12] A. Selberg Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series, Proc. of the Amalfi Conf. 1989, Univ. of Salerno (1992) | Zbl 0787.11037

[13] J.P. Serre Cours d'Arithmétique, Presses Univ. de France, Paris, 1970 | MR 255476 | Zbl 0225.12002

[14] G. Tenenbaum Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Cours spécialisés, Soc. Math. France, Paris, 1995 | MR 1366197 | Zbl 0880.11001

[15] A. Terras Harmonic analysis on symmetric spaces and applications. I., Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1985 | MR 791406 | Zbl 0574.10029

[16] A. Terras Harmonic analysis on symmetric spaces and applications. II., Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1988 | MR 955271 | Zbl 0668.10033

[17] A. Unterberger Quantization and non-holomorphic modular forms, Lecture Notes in Math, Tome 1742, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg | MR 1783191 | Zbl 0970.11014

[18] A. Unterberger Automorphic pseudodifferential analysis and higher-level Weyl calculi, Progress in Math, Tome 209, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2002 | MR 1956320 | Zbl 1018.11018

[19] G. VoronoÏ Sur le développement, à l'aide des fonctions cylindriques, des sommes doubles $\sum f(pm^2,qmn+rn^2)$, Ver. Math. Kongr. Heidelberg (1904), pp. 241-245 | JFM 36.0516.02