Factorisation d'opérateurs différentiels à coefficients dans une extension liouvillienne d'un corps valué
Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 709-734.

On démontre ici un lemme de Hensel pour les opérateurs différentiels. On en déduit un théorème de factorisation pour des opérateurs différentiels à coefficients dans une extension liouvillienne transcendante d’un corps valué. On obtient en particulier un théorème de factorisation pour des opérateurs différentiels à coefficients dans une extension de ((z)) par un nombre fini d’exponentielles et de logarithmes algébriquement indépendants sur ((z)).

We prove here a Hensel lemma for differential operators. We deduce from it a factorization theorem for differential operators with coefficients in a transcendental liouvillian extension of a valued field. In particular we obtain a factorization theorem for differential operators with coefficients in an extension of ((z)) by a finite number of exponentials and logarithms algebraically independent over ((z)).

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1899
Classification : 11D88,  12J10,  34G10
Mots clés: corps différentiel, corps valué, polygone de Newton, lemme de Hensel, factorisation, valuations discrètes, équations différentielles linéaires, extensions liouvilliennes.
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     author = {Bouffet, Magali},
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Bouffet, Magali. Factorisation d'opérateurs différentiels à coefficients dans une extension liouvillienne d'un corps valué. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 709-734. doi : 10.5802/aif.1899. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2002__52_3_709_0/

[AMI] Y. Amice Les nombres p-adiques, P.U.F, Collection Sup | Zbl 0313.12104

[BOU] M. Bouffet Un lemme de Hensel pour les opérateurs différentiels, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 331 (2000) no. 4, pp. 277-280 | MR 1787185 | Zbl 1014.12006

[JAC] Jacobson Basic Algebra II, Freeman, New York, 1980 | MR 571884 | Zbl 0441.16001

[LEV] A.H.M. Levelt Jordan decomposition for a class of singular differential operators, Arkiv för Matematik, Volume 13 (1975), pp. 1-27 | Article | MR 500294 | Zbl 0305.34008

[MAL1] B. Malgrange Sur la réduction formelle des équations différentielles à singularités irrégulières (1979) (preprint)

[MAL2] B. Malgrange Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 1991 | MR 1117227 | Zbl 0764.32001

[ROB] P. Robba Lemmes de Hensel pour les opérateurs différentiels. Application à la réduction formelle des équations différentielles, L'Enseignement Mathématique, série 2, Volume 26 (1980), pp. 279-311 | MR 610528 | Zbl 0466.12014

[SCH] O.F.G. Schilling The theory of valuations, Mathematical surveys IV | MR 43776 | Zbl 0037.30702

[VDP] M. Van der Put Recent work on differential Galois theory, Séminaire Bourbaki 1997-1998 (Astérisque) Volume 252 (1998), pp. 341-367 | Numdam | Zbl 0931.12008