Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs
Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 6, p. 1799-1857
Let G be a reductive Lie group with Lie algebra 𝔤, D be a non zero G-invariant differential operator with constant coefficients on 𝔤 and v be a G-invariant distribution on f. We prove that the differential equation D·u=v has solutions in the space of G-invariant distributions on 𝔤; moreover, if v is tempered or of finite order, we can find solutions with the same properties. If D is a non zero bi-invariant differential operator on G, Benabdallah and Rouvière gave a sufficient condition for D to have a central fundamental solution on G. We prove that their condition is also sufficient for the differential equation D·u=v to have solutions in the space of finite order central distributions on G.
Soient G un groupe de Lie réductif d’algèbre de Lie 𝔤, D un opérateur différentiel non nul à coefficients constants et G-invariant sur 𝔤, et v une distribution G-invariante sur 𝔤. Nous montrons que l’équation différentielle D·u=v a des solutions dans l’espace des distributions G-invariantes sur 𝔤; de plus, si v est tempérée ou d’ordre fini, on peut trouver des solutions ayant les mêmes propriétés. Si D est un opérateur différentiel bi-invariant non nul sur G, Benabdallah et Rouvière ont donné une condition suffisante pour qu’il ait une solution élémentaire centrale; nous montrons que leur condition est encore suffisante pour que l’équation différentielle D·u=v admette des solutions dans l’espace des distributions centrales d’ordre fini sur G.
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Bouaziz, Abderrazak; Kamoun, Nouri. Équations différentielles invariantes sur les groupes et algèbres de Lie réductifs. Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 6, pp. 1799-1857. doi : 10.5802/aif.1808. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2000__50_6_1799_0/

[A] N. Andersen, Solutions élémentaires invariantes pour les opérateurs différentiels invariants sur les espaces symétriques réductifs de type Gℂ/Gℝ, C. R. Acad. Sc., 327 (1998), 123-126. | MR 99i:22012 | Zbl 0911.22007

[B] A. Benabdallah, L'opérateur de Casimir de SL(2, ℝ), Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 17 (1984), 269-291. | Numdam | MR 86b:22014 | Zbl 0543.22006

[BR] A. Benabdallah et F. Rouvière, Résolubilité des opérateurs bi-invariants sur un groupe de Lie semi-simple, C. R. Acad. Sc., 298 (1984), 405-408. | MR 85j:22017 | Zbl 0564.22013

[Bo1] A. Bouaziz, Intégrales orbitales sur les algèbres de Lie réductives, Invent. Math., 115 (1994), 163-207. | MR 95a:22017 | Zbl 0814.22005

[Bo2] A. Bouaziz, Intégrales orbitales sur les groupes de Lie réductifs, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 27 (1994), 573-609. | Numdam | MR 95g:22020 | Zbl 0832.22017

[Bo3] A. Bouaziz, Formule d'inversion des intégrales orbitales sur les groupes de Lie réductifs, J. Funct. Anal., 134 (1994), 100-182. | MR 96i:22020 | Zbl 0842.22013

[CR] A. Cérézo et F. Rouvière, Solution élémentaire d'un opérateur différentiel linéaire invariant à gauche sur un groupe de Lie réel compact et sur un espace homogène réductif compact, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup., 2 (1969), 561-581. | Numdam | MR 42 #6869 | Zbl 0191.43801

[E1] L. Ehrenpreis, Solutions of some problems of division, I, Amer. J. Math., 76 (1954), 883-903. | MR 16,834a | Zbl 0056.10601

[E2] L. Ehrenpreis, Solutions of some problems of division, III, Amer. J. Math., 78 (1956), 685-715. | MR 18,746g | Zbl 0072.32801

[Ha] P. Harinck, Fonctions orbitales sur Gℂ/Gℝ. Formule d'inversion des intégrales orbitales et formule de Plancherel, J. Funct. Anal., 153 (1998), 52-107. | MR 99f:22017 | Zbl 0899.22015

[H1] L. Hörmander, On the division of distributions by polynomials, Arkiv för Math., 53 (1958), 555-568. | MR 23 #A2044 | Zbl 0131.11903

[H2] L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, I, Springer, Berlin Heidelberg New-York, 1983. | Zbl 0521.35001

[H3] L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, II, Springer, Berlin-Heidelberg-New-York, 1983. | Zbl 0521.35001

[L] S. Lojasiewicz, Sur le problème de la division, Studia Math., 18 (1959), 87-136. | MR 21 #5893 | Zbl 0115.10203

[M1] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Ann. Inst. Fourier, 6 (1955-1956), 271-355. | Numdam | MR 19,280a | Zbl 0071.09002

[M2] B. Malgrange, Sur la propagation de la régularité des solutions des équations à coefficients constants, Bull. Math. de la Soc. Sci. Math. Phys. de la R.P.R., Tome 3 (53) (1959), 433-440. | MR 28 #4396 | Zbl 0109.32002

[R] M. Raïs, Solutions élémentaires des opérateurs différentiels bi-invariants sur un groupe de Lie nilpotent, C. R. Acad. Sc., 273 (1971), 495-498. | MR 44 #6908 | Zbl 0236.46047

[Ra] R.R. Rao, Orbital integrals in reductive groups, Ann. of Math., 96 (1972), 505-510. | MR 47 #8771 | Zbl 0302.43002

[Ro] F. Rouvière, Invariant differential equations on certain semisimple Lie groups, Trans. A. M. S., 243 (1978), 97-113. | MR 81g:22013 | Zbl 0399.58023

[S] W. Schmid, On the characters of the discrete series, the hermitian symmetric case, Invent. Math., 30 (1995), 47-144. | MR 53 #714 | Zbl 0324.22007

[T] A. Tengstrand, Distributions invariant under orthogonal group of arbitrary signature, Math. Scand., 8 (1960), 201-218. | MR 23 #A3450 | Zbl 0104.33402

[Tr1] F. Trèves, Topological Vector Spaces, distributions and kernels, Academic Press, New-York-London, 1967. | MR 37 #726 | Zbl 0171.10402

[Tr2] F. Trèves, Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients, Gordon and Breach, New-York-London-Paris, 1966. | Zbl 0164.40602

[V] V.S. Varadarajan, Harmonic Analysis on Real Reductive Groups, (Lect. Notes Math., vol. 576), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1977. | MR 57 #12789 | Zbl 0354.43001