Prime to p fundamental groups and tame Galois actions
Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1099-1126.

Soit F un corps ayant une valuation complète et discrète, et de caractéristique résiduelle p. Si 𝒰 est une variété sur F, notons π 1, geom (p ) (𝒰) le quotient maximal du groupe étale fondamental de 𝒰 qui est premier à p. Nous considérons l’application ρ: Gal (F sep /F) Out (π 1, geom (p ) (𝒰)) au groupe des automorphismes extérieurs, et nous montrons qu’elle applique le groupe de ramification sauvage sur un groupe fini. Nous montrons que sous certaines conditions ρ dépend seulement de la réduction de 𝒰 modulo une puissance de l’idéal maximal de F. Les preuves utilisent la théorie des schémas logarithmiques.

We show that for a local, discretely valued field F, with residue characteristic p, and a variety 𝒰 over F, the map ρ: Gal (F sep /F) Out (π 1, geom (p ) (𝒰)) to the outer automorphisms of the prime to p geometric étale fundamental group of 𝒰 maps the wild inertia onto a finite image. We show that under favourable conditions ρ depends only on the reduction of 𝒰 modulo a power of the maximal ideal of F. The proofs make use of the theory of logarithmic schemes.

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