Applications arithmétiques de l'étude des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme
Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 4, p. 1-35
We study p-adic functions associated toZ(P,Q,ξ)(s)=nNrQ(n)ξnP(n)-sin some cases, where these series can be continued to C by a meromorphic function, with a finite number of poles, whose values on negative integers are algebraic numbers. We find again p-adic L-functions of a totally real number field and p-adic multiple Γ-functions.
Nous étudions les fonctions p-adiques associées à des séries du typeZ(P,Q,ξ)(s)=nNrQ(n)ξnP(n)-sdans certains cas, où elles admettent un prolongement méromorphe à C avec un nombre fini de pôles et des valeurs aux entiers négatifs algébriques. On retrouve comme cas particulier les fonctions L p-adiques des corps totalement réels et les fonctions Γ-multiples p-adiques.
@article{AIF_1981__31_4_1_0,
     author = {Cassou-Nogu\`es, Philippe},
     title = {Applications arithm\'etiques de l'\'etude des valeurs aux entiers n\'egatifs des s\'eries de Dirichlet associ\'ees \`a un polyn\^ome},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {31},
     number = {4},
     year = {1981},
     pages = {1-35},
     doi = {10.5802/aif.847},
     mrnumber = {83e:12011},
     zbl = {0496.12009},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1981__31_4_1_0}
}
Applications arithmétiques de l'étude des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme. Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 4, pp. 1-35. doi : 10.5802/aif.847. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1981__31_4_1_0/

[1] Y. Amice et J. Fresnel, Fonctions zêta p-adiques des corps de nombres abéliens réels, Acta Arithm., Warsawa, 20 (1972), 353-384. | MR 49 #2667 | Zbl 0217.04303

[2] E. W. Barnes, The theory of the double gamma function, Philosophical Transactions of the Royal Society (A), 196 (1901), 265-388. | JFM 32.0442.02

[3] E. W. Barnes, On the theory of the multiple gamma function, Trans. Cambridge Philos. Soc., 19 (1904), 373-425. | JFM 35.0462.01

[4] M. Boyarski, P-adic Gamma functions and Dwork cohomology, Trans. of the A.M.S., vol. 257, n° 2 (1980), 359-369. | MR 81c:12029 | Zbl 0475.14017

[5] P. Cassou-Noguès, Formes linéaires p-adiques et prolongement analytique, Thèse 3e cycle, Université de Bordeaux I, 1971.

[6] P. Cassou-Nougès, Analogues p-adiques de quelques fonctions arithmétiques, Publ. Math. Bordeaux, année 1974-1975, 1-43. | Zbl 0402.12012

[7] P. Cassou-Noguès, Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques, Inventiones Math., 51 (1979), 29-59. | MR 80h:12009b | Zbl 0408.12015

[8] P. Cassou-Noguès, Analogues p-adiques des fonctions Γ-multiples, Astérisque, 61 (1979), 43-55. | MR 81e:12019 | Zbl 0425.12018

[9] P. Cassou-Noguès, Valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme I, (en préparation). | Zbl 0496.12008

[10] P. Cassou-Noguès, Valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme II, (en préparation). | Zbl 0561.10020 | Zbl 0496.12008

[11] A. Chung-Ming, A generalization of Epstein zeta functions, Michigan Math. J., 21 (1974), 45-48. | MR 342470 | MR 49 #7216 | Zbl 0287.10026

[12] A. Chung-Ming, A note on a functional equation, J. Austral. Math. Soc., 15 (1973), 385-388. | MR 327680 | MR 48 #6022 | Zbl 0267.10052

[13] J. Coates, p-adic L-functions and Iwasawa theory, Durham symposium in algebraic number field (A. Fröhlich éd.) New York, London, Academic Press (1977). | MR 460282 | MR 57 #276 | Zbl 0393.12027

[14] P. Deligne, K. Ribet, Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields, Inventiones Math., 59 (1980), 227-286. | MR 579702 | MR 81m:12019 | Zbl 0434.12009

[15] J. Diamond, The p-adic Log gamma function and p-adic Euler constants, Transactions A.M.S., 233 (1977), 321-337. | MR 498503 | MR 58 #16610 | Zbl 0382.12008

[16] B. Ferrero and R. Greenberg, On the behaviour of p-adic L-functions at s = 0, Inventiones Math., 50 (1978), 91-102. | MR 516606 | MR 80f:12016 | Zbl 0441.12003

[17] B. Gross, On the behaviour of p-adic L-functions (preprint).

[18] B. Gross and N. Koblitz, Gauss sum and the p-adic Γ-function, Annals Math., 109 (1979), 569-581. | MR 534763 | MR 80g:12015 | Zbl 0406.12010

[19] N. Koblitz, A short course on some current research in p-adic analysis (Talks given at the Hanoi Mathematical Institute in July 1978). | Zbl 0439.12011

[20] T. Kubota und H. W. Leopoldt, Eine p-adische Theorie des Zetawerte I, Einführung der p-adischen Dirichletschen L-functionen, J. für die reine und angew. Math., 214-215 (1964), 328-339. | MR 163900 | Zbl 0186.09103

[21] H. W. Leopoldt, Eine p-adische Theorie der Zetawerte II, J. reine angew. Math., 274-275 (1975), 224-239. | MR 379446 | MR 52 #351 | Zbl 0309.12009

[22] K. Mahler, Über einer Satz von Mellin, Math. Ann., 100 (1928), 384-395. | JFM 54.0369.03 | MR 1512491

[23] H. Mellin, Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht, Acta Soc. Scient. Fennicae, 29 (1900), Nr 4. | JFM 34.0469.03

[24] Y. Morita, A p-adic analogue of the Γ-function, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 22 (1975), 255-266. | MR 424762 | MR 54 #12720 | Zbl 0308.12003

[25] T. Shintani, On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non positive integers, J. of Fac. of Sc. Univ. of Tokyo, section 1 (1976), 393-417. | MR 427231 | MR 55 #266 | Zbl 0349.12007

[26] T. Shintani, On certain ray class invariants of real quadratic fields, J. Math. Soc. Japan, vol. 30, n° 1 (1978), 136-167. | MR 498490 | MR 58 #16599 | Zbl 0392.12009