Annulation du groupe des -classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à
Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, p. 15-32
Let be an odd prime number. Let K be a real abelian extension of Q with a degree prime to and let G be the Galois group of K/Q; Let ϕ (ϕ1) be an irreducible -adic character of K. Let M be the maximal abelian -extension of K unramified outside and let 𝒜 be the Z [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (the ϕ-component of 𝒜) is a finite module over the ring of integers Z ψ of Q ψ (field generated over Q by the values of a character ψ of degree 1 dividing ϕ). We construct explicitely, for all n0, an element 𝒮 n in Z ψ which annihilates the module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕ n+1 . We then show that the sequence 𝒮 n has a -adic limit (which annihilates 𝒜 ϕ ) and that this limit is the number L (1,ψ ) (value at “s=1” of the -adic L function of the character ψ ).
Soit un nombre premier impair. Soit K une extension abélienne réelle de Q de degré premier à et soit G son groupe de Galois; soit ϕ (ϕ1) un caractère -adique irréductible de K. Soit M la -extension abélienne maximale de K non ramifiée en dehors de et soit 𝒜 le Z [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (la ϕ-composante de 𝒜) est un module fini sur l’anneau des entiers Z ψ de Q ψ (corps des valeurs sur Q d’un caractère ψ de degré 1 divisant ϕ). On construit explicitement pour tout n0 un élément 𝒮 n de Z ψ qui annule le module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕ n+1 . On montre ensuite que la suite des 𝒮 n a une limite -adique (qui annule 𝒜 ϕ ) et que cette limite est le nombre L (1,ψ ) (valeur en “s=1” de la fonction L -adique relative au caractère ψ ).
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     author = {Gras, Georges},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Gras, Georges. Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $. Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 15-32. doi : 10.5802/aif.725. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1979__29_1_15_0/

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[3] R. Gillard, Sur le groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes réelles, à paraître dans le Sém. Delange, Pisot, Poitou (exposé du 3 janvier 1977). | Numdam | MR 81c:12019 | Zbl 0375.12006

[4] G. Gras, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 27, 1 (1977), 1-66. | Numdam | MR 56 #8534 | Zbl 0336.12004

[5] G. Gras, Application de la notion de ϕ-objet à l'étude du groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes, Publ. math. Univ. de Besançon (1975-1976).

[6] G. Gras, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Soc. Math. France, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. | MR 56 #5489 | Zbl 0445.12002

[7] R. Greenberg, On p-adic L-functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. Jour., 67 (1977). | MR 56 #2964 | Zbl 0373.12007

[8] K. Iwasawa, On Zℓ-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math., 98 (1973), 246-326. | MR 50 #2120 | Zbl 0285.12008

[9] B. Oriat et Ph. Satge, Un essai de généralisation du Spiege-lungssatz, à paraître au Journal de Crelle.