Annulation du groupe des ℓ-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à ℓ
Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, p. 15-32
Let ℓ be an odd prime number. Let K be a real abelian extension of Q with a degree prime to ℓ and let G be the Galois group of K/Q; Let ϕ (ϕ≠1) be an irreducible ℓ-adic character of K. Let M be the maximal abelian ℓ-extension of K unramified outside ℓ and let 𝒜 be the Z ℓ [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (the ϕ-component of 𝒜) is a finite module over the ring of integers Z ℓ ψ ′ of Q ℓ ψ ′ (field generated over Q ℓ by the values of a character ψ ′ of degree 1 dividing ϕ). We construct explicitely, for all n≥0, an element 𝒮 n in Z ℓ ψ ′ which annihilates the module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕℓ n+1 . We then show that the sequence 𝒮 n has a ℓ-adic limit (which annihilates 𝒜 ϕ ) and that this limit is the number L ℓ (1,ψ ′ ) (value at “s=1” of the ℓ-adic L function of the character ψ ′ ).
Soit ℓ un nombre premier impair. Soit K une extension abélienne réelle de Q de degré premier à ℓ et soit G son groupe de Galois; soit ϕ (ϕ≠1) un caractère ℓ-adique irréductible de K. Soit M la ℓ-extension abélienne maximale de K non ramifiée en dehors de ℓ et soit 𝒜 le Z ℓ [G]-module Gal(M/K) ; 𝒜 ϕ (la ϕ-composante de 𝒜) est un module fini sur l’anneau des entiers Z ℓ ψ ′ de Q ℓ ψ ′ (corps des valeurs sur Q ℓ d’un caractère ψ ′ de degré 1 divisant ϕ). On construit explicitement pour tout n≥0 un élément 𝒮 n de Z ℓ ψ ′ qui annule le module 𝒜 ϕ /𝒜 ϕℓ n+1 . On montre ensuite que la suite des 𝒮 n a une limite ℓ-adique (qui annule 𝒜 ϕ ) et que cette limite est le nombre L ℓ (1,ψ ′ ) (valeur en “s=1” de la fonction L ℓ-adique relative au caractère ψ ′ ). 
@article{AIF_1979__29_1_15_0,
     author = {Gras, Georges},
     title = {Annulation du groupe des $\ell $-classes g\'en\'eralis\'ees d'une extension ab\'elienne r\'eelle de degr\'e premier \`a $\ell $},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {29},
     number = {1},
     year = {1979},
     pages = {15-32},
     doi = {10.5802/aif.725},
     mrnumber = {80h:12008},
     zbl = {0387.12008},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1979__29_1_15_0}
}

Annulation du groupe des $\ell $-classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $\ell $. Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 15-32. doi : 10.5802/aif.725. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1979__29_1_15_0/

[1] J. Coates and S. Lichtenbaum, On ℓ-adic Zeta functions, Ann. of Math., 98 (1973), 498-550. | MR 48 #8445 | Zbl 0279.12005

[2] J. Fresnel, Nombres de Bernoulli et fonctions L p-adiques, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 17, 2 (1967), 281-333. | Numdam | MR 37 #169 | Zbl 0157.10302

[3] R. Gillard, Sur le groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes réelles, à paraître dans le Sém. Delange, Pisot, Poitou (exposé du 3 janvier 1977). | Numdam | MR 81c:12019 | Zbl 0375.12006

[4] G. Gras, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 27, 1 (1977), 1-66. | Numdam | MR 56 #8534 | Zbl 0336.12004

[5] G. Gras, Application de la notion de ϕ-objet à l'étude du groupe des classes d'idéaux des extensions abéliennes, Publ. math. Univ. de Besançon (1975-1976).

[6] G. Gras, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Soc. Math. France, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. | MR 56 #5489 | Zbl 0445.12002

[7] R. Greenberg, On p-adic L-functions and cyclotomic fields II, Nagoya Math. Jour., 67 (1977). | MR 56 #2964 | Zbl 0373.12007

[8] K. Iwasawa, On Zℓ-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math., 98 (1973), 246-326. | MR 50 #2120 | Zbl 0285.12008

[9] B. Oriat et Ph. Satge, Un essai de généralisation du Spiege-lungssatz, à paraître au Journal de Crelle.