# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

On some ergodic properties for continuous and affine functions
Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 3, pp. 209-215.

On résoud deux problèmes posés par Choquet et Foias:

(i) Soit $T$ un opérateur linéaire positif sur l’espace $C\left(X\right)$ des fonctions réelles continues sur un espace compact $X$. On montre que si la suite des moyennes ${n}^{-1}{\sum }_{r=0}^{n-1}{T}^{r}1$ converge vers une fonction continue, la convergence est uniforme.

(ii) On donne un exemple de simplexe de Choquet $X$ et d’un opérateur linéaire positif $T$ sur l’espace $A\left(K\right)$ des fonctions réelles affines continues sur $K$, telles que

 $\mathrm{inf}\left\{\left({T}^{n}1\right)\left(x\right):n\ge \right\}<1$

pour tout $x$ de ${\partial }_{\ell }K$, bien que $\parallel {T}^{n}1\parallel$ ne converge pas vers 0.

Two problems posed by Choquet and Foias are solved:

(i) Let $T$ be a positive linear operator on the space $C\left(X\right)$ of continuous real-valued functions on a compact Hausdorff space $X$. It is shown that if ${n}^{-1}{\sum }_{r=0}^{n-1}{T}^{r}1$ converges pointwise to a continuous limit, then the convergence is uniform on $X$.

(ii) An example is given of a Choquet simplex $K$ and a positive linear operator $T$ on the space $A\left(K\right)$ of continuous affine real-valued functions on $K$, such that

 $\mathrm{inf}\left\{\left({T}^{n}1\right)\left(x\right):n\ge \right\}<1$

for each $x$ in ${\partial }_{\ell }K$, but $\parallel {T}^{n}1\parallel$ does not converge to 0.

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author = {Batty, Charles J. K.},
title = {On some ergodic properties for continuous and affine functions},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
pages = {209--215},
publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
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Batty, Charles J. K. On some ergodic properties for continuous and affine functions. Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 3, pp. 209-215. doi : 10.5802/aif.710. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1978__28_3_209_0/

[1] G. Choquet and C. Foias, Solution d'un problème sur les itérés d'un opérateur positif sur C (K) et propriétés de moyennes associées, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 24, no. 3 & 4 (1975), 109-129. | Numdam | MR 53 #11017 | Zbl 0303.47004

[2] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, 2nd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1969. | Zbl 0174.18601