Tuboïdes dans 𝐂 n et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert
Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 3, pp. 49-72.

On introduit une classe de domaines dans C (z) n =R (x) n ×R (y) n appelés tuboïdes. Un tuboïde D= xΩ (x,D x ) de profil Λ= xΩ (x,Λ x ) est un domaine de C (z) n dont chaque fibre D x (dans R (y) n ) admet Λ x comme cône tangent à l’origine.

On montre dans la première partie que l’enveloppe d’holomorphie d’un tuboïde D ^ de profil Λ ^= xΩ (x,Λ ^ x )Λ ^ x est pour tout x l’enveloppe convexe de Λ x . dans la deuxième partie, l’on montre alors que tout tuboïde D dont le profil Λ a toutes ses fibres Λ x convexes contient un tuboïde D de même profil qui est de plus un domaine d’holomorphie. Ce résultat est une génération du théorème de Grauert [1] selon lequel tout domaine Ω de R (x) n admet une base de voisinages complexes qui sont des domaines d’holomorphie.

A class of domains in C (z) n =R (x) n ×R (y) n , called “tuboids" is introduced. A tuboid D= xΩ (x,D x ) with profile Λ= xΩ (x,Λ x ) is a domain in C (z) n such that every fiber D x (in R (y) n ) admits the corresponding fiber Λ x of Λ as its tangent cone at the origin.

In the first part, it is proved that the holomorphy envelope of a tuboid D with profile Λ contains a tuboid D ^ whose profile Λ ^ is the union of the convex hulls of all the fibers of Λ. In the second part, it is shown that for every tuboid D there exists a tuboid D D which has the same profile as D and is a holomorphy domain. A special case of this result is a theorem by Grauert according to which every real domain Ω admits a basis of complex neighbourhoods which are holomorphy domains.

@article{AIF_1976__26_3_49_0,
     author = {Bros, Jacques and Iagolnitzer, D.},
     title = {Tubo{\"\i}des dans ${\bf C}^n$ et g\'en\'eralisation d{\textquoteright}un th\'eor\`eme de {Cartan} et {Grauert}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {49--72},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {26},
     number = {3},
     year = {1976},
     doi = {10.5802/aif.625},
     zbl = {0336.32003},
     mrnumber = {55 #698},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.625/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bros, Jacques
AU  - Iagolnitzer, D.
TI  - Tuboïdes dans ${\bf C}^n$ et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1976
SP  - 49
EP  - 72
VL  - 26
IS  - 3
PB  - Imprimerie Louis-Jean
PP  - Gap
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.625/
DO  - 10.5802/aif.625
LA  - fr
ID  - AIF_1976__26_3_49_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bros, Jacques
%A Iagolnitzer, D.
%T Tuboïdes dans ${\bf C}^n$ et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1976
%P 49-72
%V 26
%N 3
%I Imprimerie Louis-Jean
%C Gap
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.625/
%R 10.5802/aif.625
%G fr
%F AIF_1976__26_3_49_0
Bros, Jacques; Iagolnitzer, D. Tuboïdes dans ${\bf C}^n$ et généralisation d’un théorème de Cartan et Grauert. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 3, pp. 49-72. doi : 10.5802/aif.625. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.625/

[1] H. Grauert, Ann. Math., série 2, 68, (1958), 460-472 ; cette propriété a d'abord été démontrée pour Ω = Rn par H. Cartan, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957) 77-100.

[2] J. Bros et D. Iagolnitzer, Ann. Inst. Henri Poincaré, Section A, Vol. XVIII no 2 (1973) 147-184. et Proc. Marseille Meeting on Renormalization theory (june 1971). | Numdam | Zbl

[3] H. Komatsu, A local version of Bochner's tube theorem, Journal Fac. of Science, Tokyo, I-A 19 (1972), 201-214. | MR | Zbl

[4] E. Andronikof, “Valeurs au bord de fonctions holomorphes se recollant “loin du réel”. Thèse (1974), Université Paris-Nord-St-Denis (Départ. de Mathématiques).

[5] cf. par exemple : P. Lelong, Cours sur la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes (Saclay, 1960).

Cité par Sources :