# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

On a generalization of de Rham lemma
Annales de l'Institut Fourier, Volume 26 (1976) no. 2, p. 165-170

Let $M$ be a free module over a noetherian ring. For ${\omega }_{1},...,{\omega }_{k}\in M$, let $𝒜$ be the ideal generated by coefficients of ${\omega }_{1}\wedge ...\wedge {\omega }_{k}$. For an element $\omega \in {\bigwedge }^{p}M$ with $p<\phantom{\rule{0.166667em}{0ex}}\mathrm{prof}.\phantom{\rule{0.166667em}{0ex}}𝒜$, if $\omega \wedge {\omega }_{1}\wedge ...\wedge {\omega }_{k}=0$, there exists ${\eta }_{1},...,{\eta }_{k}\in {\bigwedge }^{p-1}M$ such that $\omega ={\sum }_{i=1}^{k}{\eta }_{i}\wedge {\omega }_{i}$.

This is a generalization of a lemma on the division of forms due to de Rham (Comment. Math. Helv., 28 (1954)) and has some applications to the study of singularities.

Soit $M$ un module libre sur un anneau noethérien. Pour ${\omega }_{1},...,{\omega }_{k}\in M$, soit $𝒜$ l’idéal engendré par les coefficients de ${\omega }_{1}\wedge ...\wedge {\omega }_{k}$. Si $\omega$ est un élément de ${\bigwedge }^{p}M$ avec $p<\phantom{\rule{0.166667em}{0ex}}\mathrm{prof}.\phantom{\rule{0.166667em}{0ex}}𝒜$ et si $\omega \wedge {\omega }_{1}\wedge ...\wedge {\omega }_{k}=0$, il existe ${\eta }_{1},...,{\eta }_{k}\in {\bigwedge }^{p-1}M$ tels que $\omega ={\sum }_{i=1}^{k}{\eta }_{i}\wedge {\omega }_{i}$.

Ceci généralise un lemme de de Rham sur la division des formes (Comment. Math. Helv., 28 (1954)) et on en obtient quelques applications à l’étude des singularités.

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author = {Saito, Kyoji},
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journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Imprimerie Durand},
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Saito, Kyoji. On a generalization of de Rham lemma. Annales de l'Institut Fourier, Volume 26 (1976) no. 2, pp. 165-170. doi : 10.5802/aif.620. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1976__26_2_165_0/

[1] G. De Rham, Sur la division de formes et de courants par une forme linéaire, Comment. Math. Helv., 28 (1954), 346-352. | MR 16,402d | Zbl 0056.31601

[2] K. Saito, Calcul algébrique de la monodromie, Société Mathématique de France, Astérisque, 7 et 8 (1973), 195-212. | MR 51 #12845 | Zbl 0294.14005